1"»8 J.-N. Noël. — Mémoire sur les 



quand l'hyperbole est 6(|uilatèrc , ses asymptotes sont perpendicu- 

 laires entre elles , et réciproquement. 



Posons cos 9 = c cl sin o=s : si du point (afl) , donne'' sur l'axe des 

 X , on mène une oblique quelconque L h l'axe des y , puis du pied 

 de cel'e-ci , la parallèle à l'axe des x , de longueur égale h L ; l'ex- 

 Iréniité {x,y) de cette parallèle appartient h l'Iiyperbole 

 1/'— x'+2ae)/-[-a' = 0. 



Prenant les valeurs de y, puis développant la racine carrée du 

 binôme x^'-a's"' ou x' — m , pour abréger , on aura 



Les équations des asymptotes de celle hyperbole sont donc 



Y= — ac±x ; 



tar X ayant la même valeur , croissante depuis jusqu'à ±50 , dans 

 les deux systèmes d'équations , la différence Y— y diminue conti- 

 nuellement et devient infiniment petite , sans jamais devenir rigou- 

 reusement nulle. Ici l'hyperbole est équilatère , puisque ses deux 

 asymptotes sont perpendiculaires entre elles. On voit d'ailleurs com- 

 ment cette courbe peut se décrire , par points successifs. On aurait 

 pu d'abord faire disparaître la première puissance de y. Ou peut 

 examiner les deux cas de o=90° et G0°, lorsque a=10. 



EnCn , lorsque par le point donné {iii,a) , on mène une suile 

 illimitée de droites, dont on considère les portions entre les axes 

 des X et des y rectangulaires ; si l'on cbercbe le lieu géométrique de 

 tous les points tels , que chacun divise la portion de droite en deux 

 parties dont celle adjacente à l'axe des x soit double de l'autre, on 

 trouve encore une hyperbole équilatère ; mais l'équation est com- 

 pliquée de facteurs étrangers , qu'il faut d'abord faire disparaître. 



XVIII. Similitude des codrbes du second degré. Deux lignes du 

 second ordre , du même genre et rapportées à un même système de 

 coordonnées , sont semblables dès que les coefficients des termes dit 

 second degré , dans leurs équations, sont respectivement égaux. 



Pour démontrer ce théorème, on pourrait prendre les deux 

 équations 



Ai/'+Ba;i/+Ca;'=Ha; et Ai/' +Ba;'ji'+Ca;" = H'a;'. 



Mais il est plus simple de considérer les deux courbes , de même 

 genre , représentées par les équations , aux axes conjugués : 

 y' '=2px-\^qx- cl y" -'Zp'x'-\~qx" , 



