propriétés de l'Ellipse. 159 



Soit d'abord çosèlp'^ipr : on peut toujours choisir, sur les deux 

 courbes , les deux, points {x,y) et {x',y') tels qu'on ait x'==rx ; et 

 alors, en vertu des deux équations, on aura y'=ry. Les deux points 

 (j',1/) et {x',y') se correspondent sur les courbes et sont dits homo- 

 logues, parce que l'un étant donné , l'autre s'en déduit immédia- 

 tement ; vu que le rapport r de p' a p ( dit rapport de similitude) 

 est connu , aussi bien que p' et p. D'ailleurs la droite y=nx , menée 

 de l'origine au premier point , passe par le second ; car ayant 

 y.x^'t/'.x', il est clair qu'en désignant par n le rapport commun , 

 on aura simultanément y=nxti y' — nx'. 



Soient (/et d' les distances de l'origine , point bomologue commun 

 aux deux courbes , à chacun des deux points [x,y) et [x',y') : on 

 trouve d'^=d'r^ ou. d'=dr. De sorte que les droites homologues d' 

 et d sont dans le rapport r de similitude ; et il on est de mémo de 

 tous les couples de droites homologues , menées de l'origine, telles 

 que D' et D ; car on trouve aussi D'=Dr. Soient a et a' les arcs des 

 deux courbes , interceptés par les deux couples d elD , d' et D' : si 

 l'angle commun , entre (i et D ou d' et D', est infiniment petit , les 

 deux arcs a et a' seront infiniment petits eux-mêmes et conséqucra- 

 ment rectilignes ; les deux triangles résultants sont donc semblables ; 

 et ainsi a! est parallèle à a et de plus a'^=ar. 



On voit que, dans tes deux courbes proposées , des arcs homolo- 

 gues , c'est-à-dire terminés à des points homologues chacun à cha- 

 cun , sont semblables ; comme lignes brisées composées du même 

 nombre infini de côtés ou éléments homologues proportionnels , 

 respectivement parallèles et comprenant des angles homologues 

 égaux. Non-seulement ces deux arcs, dans le rapport r de simili- 

 tude, sont semblables de forme , mais aussi déposition , à raison du 

 parallélisme des éléments homologues. Donc aussi les deux courbes 

 proposées sont semblables, de forme et de position. Ce qu'il fallait 

 démontrer. 



Observons que les deux paraboles if=2px et y''-=2p'x' sont 

 toujours semblables, même lorsque les angles ne sont pas égaux dans 

 les deux systèmes de coordonnées. Car la seconde peut toujours so 

 rapporter au système de la première. 3Iais pour les deux autres 

 genres, les deux courbes, de même nature, sont semblables dos 

 que les coefficients des termes du second degré étant égaux chacun 

 à chacun , les angles des deux systèmes de coordonnées sont égaux , 

 quoique séparés. 



Scholie. Lorsque deux courbes sont semblables, l'une représente 



