prupriélés de 1' Ellip.se. 161 



donné, nôgalif ou positif. 3Iultipliant les dcuK iiiombre? par a , il 

 vienl l'équation homorjine 



aij' = 2p[ax — x']. 



L'équation [d) , très-simple , faisant ressortir la grandu analogie 

 qui règne entre les trois courbes, peut servir utilement à l'étude do 

 leurs propriétés ; puisque moyennant les modiCcalioas dues à la 

 valeur et aux signes du coefficient q , les propriétés de l'une des 

 trois courbes étant connues, on en déduit celles des deux autres. 

 On pourrait commencer par la parabole ; mais , le coefficient q ayant 

 disparu et ne se trouvant point dans les propriétés de celte courbe, 

 il serait parfois assez difficile de bien connaître les modifications 

 que la présence de ce coefficient doit amener dans ces propriétés, 

 jiour les deux autres courbes. Il est donc préférable de commencer 

 par l'ellipse , parce que ses propriétés sont parfaitement analogues 

 à celles de la circonférence , déjil connues. 



Au surplus , l'équation [d] , dans son état général , conduit immc- 

 dialenieut aux propriétés , communes aux trois courbes. D'abord 

 celle équation fournit la propriété caractéristique de chaque courbe , 

 ou propre à la définir et à la décrire, en calculant le point (x',y') 

 dont la distance r , à un point quelconque (x,y) de la courue , soit 

 FONCTION RATiosNELtE de l'abscissc \de ce point. (Les coordonnées 

 ici doivent être rectangulaires , pour plus de simplicité). 



Calculant, d'après l'équation (</) , le lieu géométrique des milieux 

 d'une suite de cordes parallèles , dans la courbe, il en résulte les 

 définitions de son centre et de ses diamètres. 11 en résulte auss.i 

 l'équation de toute tangente , et celte équation , avec l'équation [d] , 

 sert à démontrer que le sommet d'un angle droit mobile , dont les 

 côtés sont tangents à une conique, décrit une circonférence, qui 

 devient la directrice, dans la parabole. 



Pour ce théorème , l'angle 8 doit être droit , de même que pour 

 la recherche des directrices de toute conique : chaque directrice est 

 une droite et le foyer voisin un point tels , qu'ère cherchant le lieu 

 géométrique de tous les points , dont les distances de chacun au foyer 

 et à la directrice soient dans un rapport constant, ou retrouve 

 l'équation [d]. Il en résulte une propriété , propre à décrire la courbe , 

 quand on connaît trois de ses points , un foyer et la directrice voi- 

 sine. De plus , si un angle droit a pour sommet, l'un des foyers de 

 toute conique; la tangente au point oit l'un des côtés coupe la 

 courbe, va couper V autre côté sur une directrice. 



Il l'J 



