162 J.-N. NoKL. — Mémoire sur les 



ObserTons enoore que les doux droites , menées des extrémités du 

 diamètre, sur l'axe des x, aux extrémités de toute corde parallèle 

 à l'axe conjugué des y , se coupent sur une autre conique. 



Enfin , l'équation (rf) servirait encore à établir les propriétés des 

 polaires et des p6hs , dans les coniques ; mais , en général , l'étude 

 des courbes du second degré se fait plus simplement , d'après l'équa- 

 tion aux axes conjugués, quand l'origine est au centre. 



XX. Projections orthogonales. Soit D la longueur d'une droite 

 donnée dans l'espace et soit D' la projection orllioijonale ou simple- 

 ment la projection de D sur une autre droite , située ou non dans le 

 même plan : si v désigne la mesure de l'angle compris , on démontre 

 aisément que D'^D cos v. 



Soit F une aire p'anc quelconque, rectiligne , mixte ou curvi- 

 ligne, et soit F' sa projection sur un autre plan : si par un point 

 de l'intersection des deux pians, on mène à celle-ci un plan perpen- 

 diculaire , il coupera F et F' suivant les deux droites inscrites D et 

 D', dont l'angle v mesure le coin des deux plans proposés , et l'on a 

 D'=Dcosti. Or, d'après la définition, la projection F' se trouve 

 avec F absolument comme la projection D' se trouve avec D ; donc 

 puisque D'^D cos ii , on a aussi nécessairement F'=F cos v. 



Menant d'ailleurs un second plan perpendiculaire à l'intersec- 

 tion de deux plans de F el de F', et infiniment proche du premier, 

 ce second plan coupera F et F' suivant les deux droites inscrites E 

 et E', respectivement parallèles à D et à D'. Il est clair que D el E 

 sont les bases d'un trapèze T, de hauteur h infiniment petite, lequel 

 conséquemment est rectiligne ; d'oii '2Ï=A(D-|-E). De même, D' et 

 E' sont les bases et h la hauteur du trapèze rectiligne V, projection 

 deT ; d'où2T'=A(D'-f-E') = /i(D-j-E) cos t)=2T cos«etT'=Tcosî;. 

 Or, F est la somme de tous les T et F' celle de tous les T' ; donc 

 puisque cos v est constant, il vient F'^F cos v. 



On voit que la projection est toujours le produit de la grandeur 

 projetée multipliée par le cosinus numérique de l'angle compris. 



XX. But de ce mémoire. Les propriétés de la circonférence, 

 qui n'est qu'une particularité de l'ellipse , conduisent immédiate- 

 ment aux propriétés de cette dernière courbe, ou du moins les 

 font prévoir; surtout quand on regarde l'ellipse comme la projec- 

 tion de la circonférence , ainsi que plusieurs géomètres l'ont pra- 

 tiqué , pour quelques propriétés faciles. Dans le tome VIII de la 

 correspondance Mathématique et Physique , dans les notes de géo- 

 métrie , 2°" édition el dans le Irailé de géométrie analytique (en 



