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1837), les projections nous ont servi à établir plusieurs I)eauK 

 théorèmes sur l'ellipse ; mais notre travail était incomplet. Le but 

 spécial du présent Mémoire est de démontrer un grand nombre de 

 propriétés de l'ellipse, d'après les méthodes les plus élémentaires. 



Propriétés de l'Ellipse. 



I. Axes principaux. Considérons la circonférence dont a est le 

 rayon. Si nous faisons tourner le cercle autour de son diamètre 

 horizontal fixe 2a , pris pour ase des x rectangulaires , jusqu'à ce 

 que le nouveau plan fasse avec le premier un angle v , moindre que 

 S0° ; les pieds des perpendiculaires abaissées de tous les points de 

 la circonférence, fixée dans la seconde position , déterminent, sur 

 le premier plan , une courbe fermée et rentrante sur elle-même, 

 projection de la circonférence proposée C D'abord cette projection 

 E a le même centre que G , puisque chaque diamètre 2a de C a pour 

 projection une corde 2rfde E , divisée en deux parties égales par le 

 centre de C ; de sorte que 2d est un diamètre de la tourbe E. 

 Ensuite, si b est la projection du rayon a, perpendiculaire à l'axe 

 des X communs ; les axes des y rectangulaires , dans les deux 

 courbes , sont dirigés suivant le rayon a et sa projection ù. Or, v 

 est nécesssairement l'angle compris entre a et A : donc b^acosv. 

 De même, si Y et y' sont les ordonnées de C et de E, pour la 

 même abscisse x,y sera la projection de Y et « l'angle compris : 

 donc2/=Y cosîJ. D'ailleurs Y'-l-a;'=a%- ainsi j/*4-a;'cos'«=a'cos^(;, 

 d'où à cause de 4=acosîJ , il vient 



aY + Px'^a'b' ... (1) 



Cette équation ayant lieu , quel que soit le point {x,y) de la pro- 

 jection E , la représente complètement.' et peut servir à la décrire. 

 D'abord x=0 donne y=±b , et y=0 fournit x=±a; de sorte 

 que 2a et 2b sont deux diamètres rectangulaires , situés sur les 

 axes de symétrie des x et des y : ce sont les axes principaux ou sim- 

 plement les axes de la courbe E. De plus, à cause de b=a cosv et 

 de cos z> <[1 , on a b<^a ou 2i<^2a ; ainsi 2a est le grand axe et 

 24 le petit axe de la courbe. 



Rien n'empêche de poser c' = a^ — b' : le nombre c aura deux 

 valeurs réelles , égales et de signes contraires, mais chacune <^a. 

 Prenant alors sur l'axe des x , de part et d'autre de l'origine , 

 cenire de C et de E , deux longueurs égales h c; les deux points 



