propriétés de V Ellipse. J67 



'èles à ces deux cordes ; le produit nn' est donc constant et négatif. 

 Ei comme la relation a'nn'+b'^Q est unique , on voit que tout 

 diamètre de l'ellipse a son conjugué et n'en a qu'un seul , ce dia- 

 mètre étant bisecleur d'un seul système de cordes parallèles. De 

 sorte que le centre et les milieux d'une suite de cordes parallèles 

 sont en ligne droite. Donc l'ellipse E étant tracée, les droites passant 

 par les milieux de deux couples de cordes parallèles , se coupent au 

 centre. De plus , dans un système de cordes parallèles , les cordes à 

 égales distances du centre de part et d'autre , sont égales entre 

 elles ; et plus une corde est éloignée du centre , plus elle est petite. 



V. Observons encore que tout diamètre divise l'ellipse en deux 

 parties superposables et symétriques par rapport au centre ; taudis 

 que deux diamètres quelconques de la courbe divisent toute corde, 

 parallèle à celle qui joint leurs extrémités, en trois parties dont 

 les deux extrêmes sont égales entre elles. Observons enfin que la 

 plus petite corde, menée par un point donné dans l'intérieur de 

 l'ellipse, est parallèle au conjugué du diamètre passant par ce 

 point ; ce dernier diamètre étant lui-même la plus grande corde en 

 ce point donné. 



6. Relations des diamètres avec les axes. Soient n et n' les 

 directions de deux diamètres quelconques 2a' et 24' de l'ellipse E, 

 dont 2a et 2* sont les axes , sur ceux de symétrie des x et des y. 

 Pour l'extrémité [x,y) de a', on a les trois équations simultanées 

 y=nx, a"-=x'-i-y' et a=)/=+èV=a'4\ 



Éliminant x et y de ces équations et opérant de même pour b', on 

 trouve 



{a'ni'+b']b"=^a'b'[l+u"].] ' ' ' i^) 



Ces deux relations remarquables serviront à calculer les diamètres 

 2a' et 2b', dès que leurs directions ra et n' seront données , avec les 

 axes, et réciproquement, en observant qu'on ne saurait avoir n=n'. 



7. Diamètres égaux. Si n'=—n , il est clair qu'on aura a'=i' • 

 réciproquement, si a'=b', les relations (4), divisées l'une par 

 1 autre, donneront ensuite 



(«'-^')K-«)(w'+«)=0; d'où n'=—n. 

 Comme la direction n reste encore tout-à-fait arbitraire, on 

 voit que l'ellipse admet une infinité de couple, de diamètres égaux , 

 également inclinés sur le grand axe, départ et d'autre du petit. Il 



