108 J.-N. 'Sov.i. — Mémoire sur les 



existe par conséquent une infinité de rcclangles inscrits , doiti \qs 

 côtés sont parallèles aux deux axes ; et parmi ces rectangles , un 

 seul carré inscrit , a\anl ses diagonales égales et perpendiculaires 

 entre elles, leurs directions étant par suite n= 1 et n' = — 1 . 



8. Diamètres rectangulaires. Pour que les diamètres 2a' et 2b' 

 soient perpendiculaires l'un à l'autre , il faut que leurs directions 

 n et n' satisfassent à la relation wn'-(-l=0. Cette relation est uni- 

 que et laisse entièrement indéterminée n' ou « , vu que les rela- 

 tions (4) ne donnent a' et i' que quand n et n' sont connues; ainsi 

 Vellipse admet une infinité de couples de diamètres rectangulaires , 

 diagonales d'une infinité de losanges incrits , concentriques. 



De plus , soit z riijpoténuse du triangle dont a' et i' sont les 

 deux autres côtés, et soit h la liautcur menée de l'angle droit : on 

 aura simultanément hz=za'b' cl ;;'=a"-)-è". Par ces deux rela- 

 tions, on voit d'aljord que 1 sur P vaut 1 sur a'^-\-\ sur h" ; mais 

 cette dernière somme vaut 1 sur a'-] 1 sur i% en vertu des rela- 

 tions (4), où l'on substitue, au lieu de «' sa valeur — 1 sur n; donc 



Celte double relation est indépendante de n et s'applique encore 

 au losange des sommets ; de sorte que h est h rayon du cercle 

 inscrit datis tous les losanges , inscrits eux-mêmes dans V ellipse pro- 

 poséelÊ. cl tous concentriques avec elle, dont un seul carré. 



9. DiAsiÈTEEs coNJUcrÉs I. Si n et n' sont les directions de deux 

 diamètres conjugués 2a' et 2//, ou aura la relation unique a'nn' 

 -\-b^^0; cl alors les relations (4) deviendront, eu éliminant 

 h'=—a'nn' : 



(„'_n)a' = =a=n'(l+w=), 

 [H'—n)b''- = —a'-n[\+n''-]. 



Combinant ces deux égalités par addition et multiplication , puis 

 désignant par s le sinus de l'angle 6 entre les deux diamètres con- 

 jugués 2a' et 21)', d'où (I +m^)(1 -i-w'")s^=(rt' — w)% ainsi qu'où le 

 vérifie par s=sia^iz' — a], ?i=lang a et w'^tang a' ; il est clair 

 qu'on trouvera 



a"+h"=-a'+b'- ii\.a'h's=ab ... (5) 



II. Ces relations sont importantes et la première , qui revient à 

 4a''+46'*=4o°-l-4t", nous apprend que, dans l'ellipse, la somme 



des carrés faits tur deux diamètres conjugués quelconques , vaut la 



