propriétés de l'Ellipse. ">'' 



som7nc des carrés faits sur les deux axes et se réduit au carré cons- 

 Iruil sur la double corde 2z des sommets. 



III. Quant à la seconde relation 4«'6's=4a6 , comme les tangentes 

 aux extrémités d'un diamètre sont parallèles à son conjugué (5) , 

 les quatre tangentes aux extrémités de 2a' et 26' forment un paral- 

 lélogramme P circonscrit , dont les côtés sont respectivement égaux 

 et parallèles à 2a' et 26' ; ils comprennent donc l'angle dont s est le 

 sinus ; de sorte que l'aire P=:4a'6's=4a6. On voit que , dans l'el- 

 lipse , le parallélogramme circonscrit , ayant ses côtés respectivement 

 égaux et parallèles à deux diamètres conjugués quelconques , vaut 

 le rectangle des deux axes. 



IV. Le parallélogramme P circonscrit est dit conjugué, pour le 

 distinguer de tout autre parallélogramme circonscrit , formé par 

 les quatre tangentes aux extrémités de deux diamètres quelconques ; 

 lequel ne jouit pas des mêmes propriétés que P. D'ailleurs, tout carre 

 Aa' circonscrit au cercle C a évidemment pour projection un paral- 

 lélogramme conjugué P; donc P = 4a^ cos y='âa6. De plus , tout 

 parallélogramme P' circonscrit au cercle C a pour projection un paral- 

 lélogramme P circonscrit à l'ellipse , d'où P=P'cosy. Or, P' est le 

 moindre possible dès qu'il est le carré 4fl' ; donc P sera aussi le 

 moindre possible et vaudra 4a6. Le parallélogramme conjugué est 

 donc le plus petit de tous les parallélogrammes circonscrits à l'ellipse , 

 ce parallélogramme conjugué pouvant être le rectangle des deux 

 axes. 



V. Observez d'ailleurs que la somme des carrés faits sur les 

 diagonales de tout parallélogramme conjugué vaut le double carré 

 fait sur la double corde des sommets ; tandis que si les deux dia- 

 mètres conjugués sont égaux, le carré fait sur l'un est double du carré 

 fait sur la corde des sommets. D'ailleurs les directions n et n' des 

 deux diamètres conjugués égaux sont données par a«=6 et an'=—b; 

 elles sont donc respectivement les mêmes que les directions des 

 diagonales du rectangle des deux axes. 



VI. Soit z la corde des sommets , d'oii z'=a'^'b' ; les relations 

 (5) deviennent donc 



(a'+6')' = s'+2a6:set2a5:s=;'— (o'— 6')'. 



Les nombres a , b , z , sont constants , tandis que les nombres s , 

 o', 6' sont variables ; donc si o'=i6', s est un minimum et a+b' un 

 maximum égal à zy/2. De plus, on voit que les deux diamètres 

 conjugués égaux comprennent le plus petit angle aigu ou lo plus 



