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grand angle obtus. Enfin , le maximum du sinus s étant le rayon 1 , 



on voit au contraire que le minimum de a'-\-b' est a + b. 



VII. Soient (X,Y) et (X',Y') les extrùmitte de deux diamètres 

 rectangulaires de la circonférence C ; elles ont pour projections les 

 extrémités {,x,y) et {x\y') des deux demi-diamètres conjugués a et 

 6' de l'ellipse E. Or, il est aisé de voir que X=Y', et Y=X' ; donc 

 les deux rectangles XY et X'Y' sont égaux : ils ont pour projections 

 les parallélogrammes faits sur x el y , sur x' et y' ; donc ces deux 

 parallélogrammes sont épiivalents.De plus, les coordonnées étant 

 rectangulaires, dans C et E , on a a;=X, x'=X', 2/=Ycosd = 

 X'cosî) et 2/'=Y' cos r)=Xcos v. D'ailleurs a'=XH-Y'=X'-f-X"; 

 donc a^=x--{-x", et par suite b'=y'+y". Ces deux théorèmes 

 remarquables fournissent la relation a" + b'l=al-\-b'. 



10. Équations de la tangente a l'ellipse. L'angle des coor- 

 données étant quelconque, dans l'ellipse E, rapportée à ses dia- 

 mètres conjugués 2a' et W, il est bien facile de calculer l'équation 

 de sa tangente , d'après celle de la tangente au point (X',Y') de la 

 circonférence C. D'abord en ce point , il n'y a que la seule tangente 

 Y'Y'+XX' = o^ ; donc au point (x',y') de l'ellipse, il n'y a que la 

 seule tangente y=nx+h. D'ailleurs a et X', situés en ligne droite , 

 ont pour projections a' et x\ aussi en ligne droite; donc a:a'= 

 \':x'. De même , Y' et sa projection y' sont respectivement paral- 

 lèles à a et à sa projection b' ; donc u:b'=Y':y'. On a donc les 

 quatre relations simultanées : 



fla;'=o'X', ay'=b'\', ax=a'X et ay=b'\. 



Par ces relations et en substituant dans YY'-hXX'=^o% l'équa- 

 tion de la tangente à l'ellipse , au point {x',y') , devient 



a''-yy'-\-b''xx'=ai'b'' ... (G) 



C'est d'ailleurs ce qu'on trouverait en éliminant y' des deux 

 équations simultanées a''y''-i-b''x''^a"b'^ et y'=nx'-i-h , puis en 

 observant que les deux valeurs de x', dans l'équation finale, sont 

 égales entre elles , comme devant se réduire à une seule. Cette con- 

 dition fournit les deux relations 



a>'n'-¥-b"^h' et a"ny'=—b"x' ; 



lesquelles réduisent à (6) l'équation de la tangente y=7ix-\-h, mise 

 sous la forme y — y'='n[x — x'). Si les cordonnées sont rectangu- 

 laires , a' et 6' se changent en o et b. 



Enfin, comme d'un point donné hors de la circonférence, ou 



