propriétés de l'Ellipse. 171 



pcul mener deux tangentes à celte courbe ; de même , il j a deux 

 tiingenles à l'ellipse qui partent d'un point donné au-dehors. 11 est 

 clair d'ailleurs que les tangentes à l'ellipse et au cercle , étant la 

 première projection de la seconde , rencontrent au même point T 

 l'axe des x rectangulaires ; elles ont donc la même soutangente TP, 

 P étant le pied commun des deux ordonnées y' et Y' ; d'où x'«TP 

 •=a' — x'^. Delà le moyen de mener la tangente à l'ellipse E , par 

 un point donné sur celte courbe ; mais le suivant est préférable. 



1 1 . CoNSTKDCTiON DE LA TANCEMTE. Les deux fojers F et F' sont 

 utiles, non-seulement pour décrire l'ellipse E, dont on connaît le 

 grand axe 2a ; mais au*;si pour lui mener une tangente GT, par un 

 point donné M sur cette courbe. En effet , le point M étant sur l'el- 

 lipse , on a , d'après la définilion , l\lF+MF'=2a ; tandis que le 

 point G de la tangente GT étant bors de l'ellipse, on a GF+GF'>'2a. 

 Le point M de GT est donc tel que la somme de ses distances aux 

 deux foyers F et F' est la moindre possible; donc (géométrie) l'angle 

 FMT==F'31G. Soient d'ailleurs v et v' les deux angles F3IT et F'MT : 

 on trouve ci/' tang«=6* et c»/'tang«'= — 6'; donc d=180° — v' 

 •=F'MG. Ainsi dans l'ellipse, les rayons vecteurs du point M de 

 contact font avec la tangente GT et d'un même côté, deux angles 

 égaux { delà vient la dénomination de foyer donné à chacun des 

 points F et F'). Donc pour tracer la tangente au point M , il suffit 

 de mener la bisectrice du supplément de l'angle FMF'. 



Celte construction montre aussi comment on peut mener les deux 

 tangentes à l'ellipse , soit par un point donné au-dehors , soil paral- 

 lèles ou perpendiculaires à une droite donnée ; et il en résulte les 

 théorèmes , faciles à démontrer, que voici : 



L La circonférence décrite sur le grand axe 2a , comme dia- 

 mètre , coupe la tangente aux pieds des perpendiculaires P et P', 

 abaissées sur elle des deux foyers F et F'. 



IL Le demi-second axe b est moyen proportionnel entre ces deux 

 perpendiculaires ; de sorte que PP'=6". 



IlL La droite , passant par le foyer et partant du point de con- 

 tact M , extrémité d'un diamètre MOM', est égale au grand axe 2a , 

 quand on la termine à la tangente en M', les deux tangentes en M 

 et en M' étant d'ailleurs parallèles entre elles. Il y a toujours quatre 

 de ces deux droites , se coupant deux à deux aux foyers F et F'. 



IV. On peut toujours décrire l'ellipse dont on connaît un dia- 

 mètre et la longueur du grand axe , si l'on a la tangente à une 

 extrémité de ce diamètre. 



