fropriétci de l'Ellipse- 173 



••m coiilacl (;t',yi], cxtrémilé du diamètre 2a', son conjugué 'Ki' 

 t'iant parallèle à la tangente. Ou a donc simultanètnenl 



et s" =x<' + iJ-y'Y. ; d'où ss'=b<l. 

 La circonférence décrite sur s+s', comme diamètre , passe par le 

 centre ; et si c? désigne le prolongement de a' jusqu'à la circonfé- 

 rence , on aura da'==ss'=b"-. La longueur d étant ainsi connue , 

 aussi bien que la droite d-^a', il est clair que la perpendiculaire au 

 milieu de celle-ci va couper la parallèle à 26', menée par l'extrémité 

 {x',y') de a', au centre H de la circonférence proposée .ayant HO pour 

 rayon et interceptant s-f-s' sur la parallèle tangente. De sorte que les 

 distances X et Y, directions des deux axes 2o et26, sont déterminées 

 entièrement , aussi bien par suite que x' et y'. Ayant ainsi les direc- 

 tions des deux axes , on calculera ou construira leurs longueurs par 

 o'=Xa;' et b'=Yy'. On aura donc aussi les deux foyers F et F' et 

 l'on pourra décrire ensuite l'ellipse E. (Ce second procédé très- 

 simple est peu connu : il s'applique h la description de l'hyperbole) . 



n. L'ellipse E étant la projection de la circonférence , il en 

 résulte, pour décrire l'ellipse circonscrite à un pentagone convexe 

 donné , ce théorème : Si dans l'ellipse , deux sécantes , qui se cou- 

 pent, sont respectivement parallèles à deux autres sécantes qui se 

 coupent, et si l'on multiplie entre eux les deux segments d'une 

 même sécante, depuis le point commun jusqu'à la courbe ; les pro- 

 duits fournis par les deux premières sécantes sont proportionnels 

 aux produits fournis par les deux dernières. 



Cette propriété fait connaître , de longueurs et de position , deux 

 diamètres conjugués de l'ellipse circonscrite cherchée. 



En général, l'équation complète du second degré n'ayant au fond 

 que cinq coefHcienls arbitraires ; ceux-ci étant connus , déterminent 

 la courbe complètement. La construction d'une ligne du second 

 ordre exige donc , au plus , cinq données ou cinq conditions dis- 

 tinctes ; et ainsi l'on peut décrire l'ellipse inscrite dans un pantagone 

 convexe tracé , laquelle est unique. 



in. Lorsque l'ellipse E est rapportée à deux diamètres quelcon- 

 ques , son équation est de la forme 



Ay'+'Bxy+Cx' = l , . . . (7) 

 A, B, C étant des nombres donnés , le premier et le dernier positifs. 

 Soit d un demi-diamètre quelconque , p le cosinus et s le sinus de 

 l'angle des coordonnées ; oa a donc 



y=nx cl dr =x' -\-y^ -[-■'ipx'j . 



