174 J.-N. Noël. — Mémoire sur hs 



Ici X cty sont les coordonnées de l'extrémilc do d et leurs valeurs 

 sont respcctivemeal les mômes , dans les trois équations. Eliminant 

 donc x et y, on aura une équation finale du second degré , ne con- 

 tenant plus que les deux variables » et (/. Or, les deux axes de l'el- 

 lipse sont l'un le plus ^rand et l'autre le plus petit de tous ses dia- 

 mètres (2) ; pour calculer les deux axes 2o et 26 , il faut donc résou- 

 dre l'équation finale par rapport à ». Observant alors que le maxi- 

 mum et le minimum de d rendent nulle la quantité sous le radical 

 de n , on aura , pour calculer ce maximum a et ce minimum i , 

 l'équation 



{4AC-B=)(2'— 4(A+C-Bj;)<f+4j'=0. 



Donc puisque a' et 6" sont les deux racines de celte équation , 

 on a 



(4AC-B')(a'-j-6')=4(A+C— B/j) et (4AC— B>'5' = 4s' ... (8) 



Ces deux relations serviront à calculer 2o et 26 ; lesquels sont 

 nécessairement les deux axes , puisque leurs directions n et n' satis- 

 font à la condilion de pcrpcndicularilé, savoir 1 +nn'-^{n-\-n')p 

 =0. On sait d'ailleurs que ces deux axes sont ceux de Vellipse ou de 

 y/iyperbole , suivant que 4AC — B^ est positif ou négatif; et si les 

 coordonnées sont rectangulaires, on aura ^^Oels=l. Si B = 0, 

 les deux diamètres conjugués 2o' et 26' seront donnés par Ca'^=l 

 et A6" = l ; d'où fl''+6' = =:o' + 6= et «'6's=fl6. 



IV. Lorsque l'ellipse est représentée par l'équation complète , du 

 second degré entre les deux variables a; et y ; on la ramène d'abord 

 à la forme (7), en passant du système proposé à un autre parallèle , 

 pour faire disparaître les premières puissances de x et de y. Par 

 exemple , proposons-nous de décrire la courbe passant par les 

 cinq points donnés (0,1), (0,2) , (2,0) , (3,0) et (I ,j) , k$ coordonnées 

 étant rectangulaires. 



Substituant dans l'équation du second degré complète 



Ay'+'Bxy+Cx'-hDy+Ex+¥=0 ; 



on aura cinq équations , du premier degré chacune , pour calculer 

 les six coefficients inconnus A , B , G , D , E , F ; et la courbe cher- 

 chée sera représentée par 



3y' +2xy+x'-—dy—5x+6=0. 



Faisant disparaître les premières puissances de x et de y, la mémo 

 courbe est représentée par 



I2y'+8xy+ix'=d. 



