propriétés de l'Ellipse. 175 



Ici A = V, B = f, C=5, /> = et.<=l ; donc les relations (8) de- 

 Tiennent 



2(a'+5')=9 et 32a'6==81. 



II en résulte , d'une manière aussi rapprochée qu'on veut , le» 

 deux axes 2a et 26 de l'ellipse cherchée. On connait d'ailleurs le 

 centre à la nouvelle origine , et les directions des deux axes ; on 

 peut donc aisément décrire l'ellipse demandée. Les longueurs des 

 demi-diamèlres rectangulaires d et d', auxquels elle est rapportée , 

 sont données par M' =9 et 12ci'* = 9. 



V. Observons enfin que , dans l'équalion complète , on peut , en 

 la résolvant par rapport k y , en déduire l'équation 6Y= — 2.2;+9 

 d'un diamètre 2a', facile h construire, par x=0 et Y=0. Les 

 extrémités de 2a' sont données par les valeurs de x , qui rendent 

 nul le radical de y, savoir 4j;=6±l/6 ; d'où 12i/=12:p|/6. Aux 

 extrémités de 2a', ainsi déterminées , les deux ordonnées sont tan- 

 gentes à la courbe ; donc la parallèle à l'axe des ordonnées , menée 

 par le milieu de 2a' ; c'est-à-dire par le centre de l'ellipse , est la 

 direction du diamètre 26', conjugué de 2a'. Substituant dans l'équa- 

 tion complète la valeur de l'abscisse du centre , savoir x=f , on 

 aura les ordonnées des extrémités de 26', savoir y=Mjy'3. On 

 connaît donc , de position et de longueur , chacun des deux dia- 

 mètres conjugués 2a' et 26' ; et ainsi l'on peut décrire l'ellipse. Les 

 longueurs sont 2o'=^j/15 et 26'=|/3; vu que les coordonnées 

 étant rectangulaires , 2a' est l'hypoténuse d'un triangle rectangle , 

 dont jl/G e\.\\/6 sont les autres côtés ; tandis que 26' est la diffé- 

 rence des ordonnées de ses extrémités. 



VI. Tels sont les divers procédés pour décrire l'ellipse, dont 

 l'équation est donnée numériquement. Biais on peut quelquefois 

 simpliQer les calculs , comme dans le problème : Les coordonnées 

 rectangulaires de chaque point du plan sont les dimensions d'un 

 rectangle variable R ; quel est le lieu géométrique de tous ces points , 

 1° lorsque le carré de la diagonale de R , plus l'aire du rectangle , 

 donne le carré 36 ? 2° lorsque le carré de la diagonale , plus ou 

 moins le double rectangle , donne 64 ? 3° enfin , lorsque 4 fois l'aire 

 du rectangle , moins le carré de sa diagonale , fournil le carré 100 ? 



Dans le premier cas , on a x''-\-y'^-\-xg^'i6 et x'^-^-y" =d^. Ou 

 trouve aisément , pour le maximum de d' , y=i—x et a' =72 ; pour 

 le minimum de d', y=x et 6' =24. Le lieu cherché est donc une 

 ellipse , facile à décrire , puisque l'on connaît ses deux axes 2a et 

 26 , bisecteurs des angles droits des axes des coordonnées. 



