17i> J.-N. Nor.L. — Mémoire sui- hs 



13. Normale I. Touto normale h l'ellipse est perpendiculaire à 

 la tangente , au point de contact ; la normale est donc hhcctrice ilc 

 l'anjh compris '.par les deux rayons vecteurs , menés au point de 

 langence, et rencontre, par suite , le grand axe entre les deux foyers. 

 Connaissant donc les deux foyers et un point de l'ellipse , il est facile 

 de lui mener , par ce point , la normale et par suite la tangente. 



II. Soit n' la direction de la normale et n celle de la tangente h 

 l'ellipse, au point (x' ,ij') , les coordonnées étant rectangulaires; 

 on aura donc simultanément 



nn' -\- 1=0 et a' ny' +b'-x''=0 ; d'où b'-n'x"=a'y' , 



L'équation de la normale, savoir y—y'=n'[x — x') , devient 



donc 



V-:7' = -^T^(a— x') . . (9) 



La sounormale est x—x' ; elle répond à i/=0 , dans (9) , et elle 

 est fournie par 



a^{x — x')= — b'x'. 



La sounormale ne dépend point de l'ordonnée y' du contact et a 

 toujours un signe contraire à celui de x'; d'où x<^r'. 



111. Soit Y l'ordonnée qui répond à l'abscisse x' , pour la circon- 

 férence décrite sur 2a , comme diamètre , et dans le plan de l'ellipse ; 

 ou aura Y:y'::a:b ou bY^ay'. Soit d la distance de l'origine au 

 point où la normale (9) va couper la droite y=px , passant par le 

 point (x',Y); d'où d'—x'+y', Y=px' et bpx'=--ay' . L'équation 

 »/=pa; devient donc y — Y=p(x — x) et bx'y — ax'y' — ay'{x — x). 



Les x et les y ont mêmes valeurs respectives dans cette équation , 

 celle de la normale et d'=x' -\']j'- , pour l'inlerseclion {x,y) de la 

 droite y^px avec la normale (9) ; éliminant donc a; et »/ de ces 

 équations et ayant égard à a-y"- -\-b-x' '=a'b-j on trouve 



(Ce théorème remarquable m'a été communiqué par mon collè- 

 gue 31. Brasseur). 



iV. Soit (X,0) un point donné sur l'axe des x rectangulaircj et z 

 la distance de ce point au point quelconque (x,y) de l'ellipse. Puai- 

 calculer le minimum de ;, on a les deux équations simultanées 



z'-^y' + {x—\Y et a'-y'+!>'x'-=a'b\ 

 Eliminant y\ ou verra que le minimum de - répond ii 



c'x=a-\, d'où c'y'-^b\c'—a'}i-) ; 



