propriétés de l'Ellljise. 177 



et qnc ce minimum est donné par la relation 



Le plus grand minimum de z répond à X^O et se réduit à b ; 

 tandis que le moindre minimum de z répond au maximum de X, 

 savoir c' sur a; il est donc donné par a5=-i' ; d'où y=0 et x=±a. 

 Le maximum de X est moindre que c , comme on le sait déjà (l). 



Soit n' la direction de la droite minimum z; on aura y=n' 

 [x — X). La direction n de la tangente au point [x,y) de l'ellipse , 

 est donnée par a^ny = — b'x; donc puisque c'x^a'H, il vient 

 nw'-^l^O. Ainsi un point étant donné sur le grand axe , entre les 

 deux foyers; la plus courte distance de ce point à l'ellipse est la 

 normale à celte courbe. 



V. On verrait semblablement que la plus grande distance z , 

 d'un point (0,Y) du second axe 2b , à l'ellipse , est la normale me- 

 née de ce point. On trouve en effet , pour le maximum de z , les 

 relations c'y=—b'Y,c'x' = a'{c'—b'Y') et c'z'=a'{c'+Y'). 



Comme on le pouvait prévoir, les ordonnées y et Y sont toujours 

 de signes contraires. Cela résulte d'ailleurs de ce que le maximum 

 et le minimum de Y étant c' sur i et , le plus grand et le moindre 

 maximum de z sont a' sur i et a , répondant à y= — b et à a;=±ff. 



14. Des courbures dans l'ellipse L Toute courbe plane pou- 

 vant être considérée comme formée d'un nombre infini d'éléments 

 rectilignes , chacun infiniment petit, on appelle courbure de la 

 courbe en un point donné, l'angle infiniment petit , ayant pour 

 sommet ce point donné et pour côtés un élément et le prolongement 

 de celui qui le précède immédiatement. 



Il suit de là que la circonférence est une courbe uniforme , ayant 

 la même courbure en chaque point. On sait , en effet , que le cercle 

 n'est au fond qu'un polygone régulier , d'un nombre infini n de 

 côtés, égaux à a; et infiniment petits; de sorte que la circonférence 

 a nx pour longueur rectiligne. Dans ce polygone régulier, tous les 

 angles extérieurs , formés dans le sens du périmètre , c'est-à-dire 

 tous les angles de courbure , sont égaux à l'angle au centre a et 

 valent ensemble 360°, d'où ««=360». De sorte que la courbure a 

 est un angle constant infiniment petit. 



IL Considérons la droite nx , composée du nombre infini n d'élé- 

 ments égaux à a; , et courbons-là en arc circulaire , de rayon r. 

 Soit a l'arc, de rayon 1 , qui mesure la courbure, égale alors à 

 l'angle au centre : les deux arcs a et se élanl semblables , on a 

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