propriétés de l'Ellipse. 179 



On voit qu'une développante ne peut avoir qu'une seule déve- 

 loppée (le centre pour la circonférence] , mais qu'une développée 

 peut avoir une inûnilé de développantes. Aussi la développée est- 

 elle à l'égard de la développante , ce que le centre est à l'égard de 

 la circonférence. 



16. Développée de l'ellipse. Cherchons la développée de l'el- 

 lipse , rapportée à ses axes 2a et 25. Soient x=k et y=h, x=Je 

 -f-!« et y=h+v , deux points de l'ellipse, infiniment voisins; de 

 telle sorte que les longueurs numériques m et « soient infiniment 

 petites. Les normales à ces deux points sont représentées par 



Ces équations de deux normales inGniment voisines admettent 

 les mêmes valeurs respectives pour les coordonnées X et Y du centre 

 de courbure , et l'on en tire d'abord 



o' [kv—~ku)X=c^kv[k-\-u) . 



Or, les deux points [k,h.] et (ft+M,ft+u) étant sur l'ellipse , il 

 en résulte 



v:u=—l>'[^k+u):a'[2h-{-v). 



Substituant ce rapport dans l'équation en X , puis observant que 

 u et « sont nuls à l'égard des nombres finis ; on aura 



o*X=c'Â:';d'où è'Y=-c'A^i . . . (10) 



Soient A et B les racines cubiques de a'c' et b'c' ; il est clair 

 qu'où aura 



c'F = Aa'|yx' et c'h'^M'^Y'. 



D'ailleurs oVt-+éVî^=a'6" ; substituant donc , il vient 



BC^Y'+A)y\'=c\ .... (11) 



Dans cette équation , (X,Y) est un centre quelconque de courbure ; 

 elle représente donc la développée cherchée. Celle-ci a même centre 

 que l'ellipse ; elle a ses deux axes de symétrie sur 2a et 26 , dont 

 le plus grand sur 26 ; et enfin ses quatre sommets sont quatre 

 points de rebroussement , où se terminent ses quatre branches , égales 

 entre elles et tangentes aux deux axes. 



