180 J.-N. Noël. — Mémoire sur hs 



17. Rayox de courbure. Soit r le rayon de courbure au point 

 {k,h) de l'ellipse : comme (X,Y) est le centre de courbure en ce point , 

 OD a 



r' = {h—YY+[k-\)\ 



Or , par les valeurs ci-dessus de X et de Y, on a 



a''Jc—X) = a'k-c'-li' et b'{h—Y] = b'h-\-c'h\ 



Soit N la longueur de la normale, depuis le point (/c,/t) jusqu'à 

 l'axe des x rectangulaires : on trouve aisément a*N^=6^(a*- cV.'J ; 

 d'où 



b\k-\)^-N'k et bHh—Y]=a'N'h. 



A cause de ap = b', il vient , pour calculer r, 



6V'=a'N' etpV=N'. . . . (12) 



Soit d'ailleurs i l'angle de N avec chacun des rayons vecteurs du 

 point (/.■,/() ; on sait que ch cott = 6' ; d'où (b'-\-c^h')cos'i=l>\ Or, 

 6'+c'A^=o^N% donne aNcosî = 6' ou Ncost=7). Éliminant N , il 

 vient 



^ = rcos'î, ou r=p scc'i. . . (13) 



L'équation p=>'cos ^i servira à calculer le rayon de courbure en 

 chaque point de l'ellipse. On peut aussi construire ce rayon r, pour 

 le point M : on élève (rois perpendiculaires successives, l'une sur 

 MF , h la distance p de M : la seconde sur MC, au point où la pre- 

 mière coupe la normale 3IC en M ; la troisième sur le rayon vecteur 

 FM , au point où il est coupé par la seconde : cette troisième per- 

 pendiculaire coupe la normale en M au centre C de courbure. 



Soit d'ailleurs a la courbure de l'ellipse au point quelconque M , 

 d'où ra==l ; on aura donc 



pcc^^cos'i. 



Aus extrémités de 2a , cos i est à son maximum 1 , aussi bien 

 par suite que la courbures; donc au contraire le rayon r de cour- 

 bure est alors h son minimum p. Aux extrémités de 24, l'angle obtus 

 2î est à sou maximum , aussi bien que i; donc cos t est à son mini- 

 mum , donné par acosi=J , et par suite r est à son maximum , 

 donné par l>r=a'. De même la courbure a est à son minimum, 

 fourni par a'a=b. 



Observons que la théorie des courbures , dans les lignes du second 

 ordre , étant très-él^'Uientaire , devrait faire partie de la géométrie 



