propriétés de l'Ellipse. 181 



analytique plane , comme conduisant immédiatement aux lois de la 

 gravilalion ; ainsi que nous l'avons établi , p. 220 de la 2"°° édition 

 de notre Mécanique élémentaire. (Voyez d'ailleurs le tome I du 

 Journal de Mathématique , publié par M. Lioumlle). 



Théorèmes. La méthode précédente ne fournit pas seulement les 

 développées de l'hyperbole et de la parabole , mais aussi les expres- 

 sions (12) et (13) du rayon de courbure dans chacune ; et il en ré- 

 sulte que dans les lignes du second ordre , le rayon de courbure a 

 pour valeur , soit le cube de la normale divisé par le carré du demi- 

 paramètre, soit le produit du demi-paramètre par le cube de la 

 sécante de l'angle que la normale fait avec un rayon vecteur , mené 

 au point de contact. 



Ces deux théorèmes généraux étaient faciles à prévoir; car les 

 trois courbes étant représentées par l'équation y'=^px-\-qx'' ,(i\. les 

 relations (12) et (13), pour l'ellipse, étant indépendantes du coefficient 

 q, par lequel chaque genre de courbe est caractérisé; ces relations 

 doivent s'appliquer aux trois genres , nécessairement. On démontre 

 aussi que , si deux courbes du second degré sont semblables , il eu est 

 de même de leurs développées. 



18. Des aires dans l'ellipse. Les deux axes 2a et 26 , d'une 

 ellipse, étant donnés, on sait que celte courbe est la projection d'une 

 circonférence, et réciproquement; a étant le rayon de la circonfé- 

 rence , et l'angle v des deux plans étant donné par 6=a cos«, dans 

 le premier cas. Or, on sait mesurer l'aire S' du secteur quelconque 

 du cercle; donc si S désigne le secteur elliptique, projection de S', 

 on aura S=S'cosy ou aS=bS'. Ainsi l'on sait calculer l'aire de 

 tout secteur elliptique ; et la même relation subsiste lorsque S' et S 

 sont deux segments , circulaire et elliptique. 



Deux diamètres rectangulaires du cercle ont pour projections 

 respectives deux diamètres conjugués de l'cllipso ; or , les deux pre- 

 miers divisent le cercle sra' en quatre secteurs égaux à S'=fTa' ; 

 donc les deux derniers divisent l'aire elliptique E en quatre secteurs 

 équivalents à S , à'où S=7E. La relation oS=6S' devient donc 

 TE=7rab. 



Soit d'ailleurs k le rapport rationnel ou non , de l'aire E au rec- 

 tangle ab; d'où E=kab. Le nombre abstrait k étant indépendant de 

 a et J, ne change point quand on pose b=a; mais alors l'aire E 

 devient le cercle •^aa ; donc ^aa=kaa. Et puisque k n'a point changé , 

 on avait d'abord k=7r ; donc encore E=a-a6. On voit que Vuire de 

 l'ellipse équivaut au cercle dont le rayon est moyen proportionnel 

 entre les deux demi-axes. 



