propriétés d$ t' Ellipse. 183 



est donc un pohgone de n sommets circonscrit à l'aire elliptique E , 

 projection du cercle , et l'on a P'^P cosu ou aP'=JP. 



Comme a et 6 sont constants , P et P' variables , il est clair que 

 P et P' seront à la fois les moindres possibles ; or P est un mini- 

 mum absolu dès qu'il est régulier ; donc alors P' est aussi un mini- 

 mum.abso'u. D'ailleurs, il y aune infinité de polygones réguliers 

 égaux à P circonscrits au cercle, tous concentriques, les contacts 

 étant les milieux des côtés ; donc il y a une infinité de polygones , 

 équivalents au minimum P', circonscrits à l'ellipse, les contacts étant 

 les milieux des côtés et le centre de la courbe étant chaque fois celui 

 de gravité ou de symétrie du minimum P', suivant que le nombre 

 n de ses côtés est impair ou pair. 



1° Si n=^ , les minimums P' valent chacun le triangle isocèle 

 dont la base 26(/3 touche l'ellipse à une extrémité du grand axe 

 2a , le sommet étant sur le prolongement du même axe. Et comme 

 le centre de gravité de ce triangle minimum coïncide avec le centre 

 de l'ellipse , la hauteur du triangle est 3o ; donc l'aire minimum a 

 pour mesure 3a5l/3. 



Les sommets de tous les triangles minimums circonscrits P' 

 appparticnnent à une seconde ellipse , semblable à la première , de 

 forme et de position ; car cette nouvelle ellipse est la projection de 

 la circonférence, de rayon 2a , circonscrite au triangle équilaléral 

 minimum , lui-même circonscrit au cercle proposé : donc 4a et 44 

 sont les axes de la seconde ellipse , dont par suite l'aire est qua- 

 druple de celle de la première. On peut donc ainsi passer par une 

 suite d'ellipses concentriques semblables , dont les aires deviennent 

 de 4 on 4 fois plus grandes. 



2' Sin=4, tous les quadrilatères minimums P', circonscrits à 

 l'ellipse, sont des parallélogrammes conjugués, équivalents entre 

 eux et aux rectangles des axes. Les sommets de tous les P' se trou- 

 vent sur une ellipse , semblable, de forme et de position , à la pre- 

 mière , et d'une aire d'ouble ; car ses axes sont 2o)/2 et 1l\/1 



3° En général , si n est pair , tous les polygones minimums P', 

 circonscrits à l'ellipse , sont symétriques chacun , équivalents entre 

 eux et concentriques à la courbe ; ils sont tous inscrits dans une 

 ellipse , concentrique et semblable à la première. Ainsi pour ?i = 6 , 

 par exemple , les hexagones minimums sont chacun symétrique et 

 tous ont la même mesure 2aby^3 ; ils sont inscrits dans une seconde 

 ellipse , semblable à la première et dont l'aire est les quatre tiers de 

 celle de la première. 



