184 J-N- KoEL —Mémoire sur ks 



21. Ellipses inscuites. On a vu en gtuiuulric que , parmi tous 

 les polygones équivalents , de chacun n côlés et circonscriptibles à 

 (lifférenls cercles , celui de plus grand cercle inscrit est régulier. 

 Soient donc P et I" deux polygones de chacun n côlés , le premier 

 circonscrit au cercle de rayon a variable , et le second l", projec- 

 tion du premier , circonscrit à l'aire elliptique E , projection de 

 l'aire tto' du cercle; et soit v l'angle invariable des deux plans : 

 on aura 



P'=Pcosî) et E=ira'cosv. 



L'angle v élant donné constant, aussi bien que l'aire P, il en ré- 

 sulte l'aire P', aussi constante. Or, le cercle variable ^ra' est le plus 

 grand possible dés que P est un polygone régulier ; donc alors l'aire 

 tl est aussi la plus grande possible : elle touche chacun des côlés de 

 P' à son milieu et a pour centre celui de gravité de P'. Ce dernier 

 polygone, qui doit être symétrique , si n est pair , élant donc tracé , 

 et connaissant l'angle v , qui rend P un polygone régulier , P sera 

 aussi tracé ; d'oîi l'on aura le rayon a du cercle maximum inscrit , 

 et par suite le grand axe 2a de l'aire elliptique E maximum , inscrite 

 dans P'. Quant au second axe 26 , il sera donné par b = acosv ; on 

 peut donc décrire l'ellipse maximum , inscrite dans P', ou du moins 

 une ellipse égale ; mais la difEculté, même lorsque cosk=^-, est 

 de tracer, dans l'intérieur de P', l'ellipse maximum , qui doit avoir 

 pour centre celui de gravité de P' et toucher chacun de ses côtés au 

 milieu. 



1° Supposons que P' soit un triangle quelconque tracé, pris pour 

 base d'un prisme triangulaire droit : on peut toujours couper ce 

 prisme par un plan , de telle sorte que la section soit un triangle 

 cquilatéral P; on peut mémo calculer l'aire P, aussi bien que 

 cosî) , V désignant l'angle des deux jilaus. Observons que la des- 

 cription de l'ellipse exige cinq conditions distinctes , comme de 

 passer par cinq points donnés ; il existe donc une inGnilé d'ellipses 

 inscrites dans le triangle donné P'. Or, en faisant tourner ce 

 triangle dans son plan , il est la projection d'une suite de triangles 

 P, équivalents entre eux ; donc la circonférence inscrite dans cha- 

 cun de eeux-ci , a pour projection une ellipse inscrite dans P'. Et 

 puisque quand P est équilaléral , le cercle inscrit est le plus grand 

 possible, on voit qu'alors l'aire elliptique E, inscrite dans P', est 

 la plus grande possible : elle touche chacun des côtés de P', dans sa 

 nouyelk' position , au point milieu de ce côlé , et son centre est celui 



