propriétés de l'Ellipse. '^5 



de gravité de P'. Soit donc 3d la droite qui joint un Bommel de P' 

 au milieu du côté opposé 2m ; 2b'=2d sera un diamètre de l'ellipse 

 maximum inscrite ; tandis que son conjugué 2a', pris pour axe des 

 X obliques , est parallèle à la tangente 2m. D'ailleurs le milieu d'un 

 autre côté , appartenant à l'ellipse maximum , a pour coordonnées 

 x=m et y=^d; donc l'équation a"r/+b'^x^=a''b'^ fournit 

 o'=j»!j/3. Connaissant donc ainsi les deux diamètres conjugués 

 2a' et 2b', de longueur et de position, il en résulte le tracé des 

 deux axes et la description de l'ellipse maximum , inscrite dans lo 

 triangle quelconque donné P'. 



L'aire de cette ellipse est E='-'rV'y/3 ; d'oii E>iP'. Si donc on 

 veut , dans un morceau triangulaire P' d'acajou , couper la plus 

 grande table possible , il faudra prendre cette table elliptique plutôt 

 que rectangulaire [ jP' étant le plus grand rectangle inscrit dans P') ; 

 et nous venons de voir comment on peut résoudre le problème. 



2° Lorsque P' est un quadrilatère convexe quelconque trace , 

 il existe encore une infinité d'ellipses inscrites dans ce quadrilatère. 

 Menant par les milieux des côtés de P' des droites respectivement 

 parallèles et par suite égales aux deux droites 2(/ et 2m qui joignent 

 ces milieux , on formera le parallélogramme R , équivalent à 

 P'=Pcos V. Comme R est la projection du carré équivalent à P ; 

 d'où P=4a^, a désignant le rayon du cercle maximum inscrit dans 

 les quadrilatères équivalents à P ; l'aire elliptique E, projection du 

 cercle maximum , est celle de l'ellipse maximum inscrite dans R , 

 ayant 2d et 2m pour diamètres conjugués et pour aire maximum 

 E^^tP ; elle est donc facile à décrire. Mais elle n'est pas inscrite 

 dans P', bien qu'elle passe par les milieux de ses côtés : la plus 

 grande ellipse , inscrite dans le quadrilatère convexe donné P', ne 

 saurait se trouver par la méthode élémentaire des projections ; car 

 pour cela, P' étant la base d'un prisme quadrangulaire droit, il 

 faudrait qu'il fût possible de couper ce prisme par un plan tel , que 

 la section résultante fût un carré. 



22. Polygones inscrits. Considérons les polygones de n côtés, 

 en nombre illimité , inscrits dans une ellipse , donnée par ses axes 

 2a et 26 ; son aire E étant la projection du cercle dont a est le 

 rayon, Procédant comme plus haut , nous verrons qu'il existe une 

 infinité de polygones maximums inscrits , tous équivalents à P' et 

 chacun symétrique , si n est pair ; tous circonscrits à une même 

 ellipse dont l'aire E' est semblable , de forme et de position , à la 

 proposée E. Ainsi pour « = 3, le triangle maximum P' = |aSl/3 et 



