If 6 J.-N. Noël. — Mémoire sur les 



E' = iE; pourn=4, le (luadrilalèrc niaximum est un parallélo- 

 gramme P', variable de forme el pouvant devenir un losange ou 

 un rectangle , sans qu'il cesse d'être équivalent au denii-reclangle 

 des axes , et l'on a E'=îE ; enfin , pour « = 6 , tous les hexagones 

 sjmétriques maximums inscrits sont équivalents à -ahy'Z , el l'on 

 a E'=îE. 



23. Ellipses circonscrites. On a vu en géométrie que le plus 

 petit de tous les cercles , circonscrit à des polygones de chacun n 

 côtés et tous équivalents à P, répond au polygone régulier. Soit A 

 le rayon du cercle minimum ; en raisonnant tomme plus haut , on 

 verra que parmi toutes les aires des ellipses circonscrites aux poly- 

 gones équivalents à P', projections des polygones P, la plus petite 

 de toutes a pour centre celui de gravité ou de symétrie du polygone 

 P' = Pcosî) , suivant que n est impair ou pair , et que de plus , 2B 

 désignant le second axe de l'aire elliptique minimum E , d'où B=A 

 msv , on aura toujours E'=!rA'cost)^!rAB ; et si E désigne l'aire 

 elliptique maximum inscrite dans P', d'où E = Ta6 , 6=acost; et 

 A:a^B:6; les deux ellipses maximum E et minimum E' sont 

 semblables, de forme et de position. Et puisqu'on sait décrire la 

 première , pour le triangle et le quadrilatère P', il sera facile d'en 

 déduire la description de la seconde , chaque fois. Pour le triangle 

 P' quelconque , on a E' = j-tP'|/3^4E , et pour le quadrilatère P', 

 il vient E'=-iîrP' = 2E. 



24. Théorèmes. Ce qui précède conduit à démontrer , avec faci- 

 lité , les théorèmes que voici , sur les quadrilatères maximums et 

 minimums inscrits et circonscrits à l'ellipse , dont 2o et 26 sont les 

 axes tracés : 



I. Le rectangle inscrit , d'aire et de contour maximums, est le 

 carré dont les diagonales sont bisectrices des angles droits des deux, 

 axes ; c'est le seul carré inscrit, ayant le côté égal à la hauteur du 

 losange des sommets. 



Scholie I. Les maximums ci-dessus sont relatifs aux diamètres 

 égaux: mais le plus grand de tous les rectangles inscrits est sem- 

 blable , de forme et de position , au rectangle des axes el en vaut la 

 moitié ; il est donc plus grand que le seul carré inscrit. 



Scholie II. Le rectangle inscrit , de contour maximum , égal au 

 contour du losange des sommets , a ses diagonales égales telles , que 

 la direction n de l'une est donnée par o'»=6'. Le contour maxi- 

 mum de ce rectangle inscrit est plus grand que celui du seul carré 

 iuscrit. 



