propriétés de l'Ellipse. 1S7 



H. Parmi tons les losanges inscrils dans l'ellipse, le seul carré 

 est celui dont l'aire, le contour et la somme des diagonales sont les 

 moindres qu'il se puisse. 



III. L'ellipse admet une inCnité de losanges circonscrits , dont un 

 seul carré , ayant ses contacts aux extrémités de deux diamèlres 

 égaux , non rectangulaires, et chaque diagonale double de la corde 

 des sommets. De plus , les sommets de tous ces losanges se trouvent 

 sur les prolongements des deux axes. 



IV. Le tous les losanges circonscrits , le plus petit équivaut au 

 rectangle des axes et ses côtés sont parallèles aux diagonales de ce 

 rectangle. (Il est moindre que le carré circonscrit, comme cela 

 doit être). 



V. Parmi tous les losanges circonscrits , celui de moindre péri- 

 mètre a son côté égal à la somme des deux demi-axes ; les demi- 

 diagonales het k sur les axes des y et des a; étant données par /»'=& 

 (a+6) et k'=a[a-{-b). Le côté du losange proposé est moindre que 

 celui du seul carré circonscrit , comme cela doit être. 



VI. Entre tous les parallélogrammes circonscrits à l'ellipse, les 

 plus petits sont les parallélogrammes conjugués, tous équivalents à 

 4a6 ; dont un seul rectangle ^ ayant le plus petit contour à[a-\-b) , et 

 un seul losange, ayant le plus grand périmètre 4J/2|/(a^ + 6^) , 

 parmi les parallélogrammes •conjugués. Ce losange conjugué est le 

 minimum de tous les losanges circonscrits à l'ellipse (IV). 



Yll. Si le produit des directions des deux côtés adjacents est un 

 nombre constant et négatif, les sommets de tous les parallélogram- 

 mes circonscrits , en nombre infini, décrivent une ellipse concen- 

 trique et semblable, de forme et de position , à la première , si tous 

 les parallélogrammes sont conjugués. Dans ce cas , l'aire de la 

 seconde ellipse est double de celle de la première. 



Scholie 1. On peut ainsi obtenir une suite d'ellipses semblables, 

 de 2 en deux fois plus grandes ; et si R désigne le rayon du cercle 

 équivalent à la somme des m premières , on aura 'R'=ah(2'" — 1). 



Scholie II. La propriété ci-dessus , descriptive de la seconde ellipse, 

 est celles des cordes supplémentaires. Mais tous les sommets se trou- 

 veraient sur les prolongements des deux diamèlres conjugués égaux , 

 'si le produit constant était toujours positif. 



VIII. Les sommets de tous les rectangles circonscrits à l'ellipse 

 décrivent une circonférence concentrique , de rayon égal à la corde 

 des sommets ; et le plus grand de tous ces rectangles circonscrits 

 est le seul carré circonscrit : c'est aussi le rectangle de périmètre 

 maximum. 



