188 J.-N. Noël. — Mémoire sur les ' 



IX. Deux ellipses concentriques semblables, étant les projections 

 de denx cercles concentriques ; non-seulement toute corde de la 

 plus grande ellipse , tangente à la plus petite , est divisée en deux 

 parties égales , par le contact ; mais v désignant l'angle des deux 

 plans et C la demi-corde de la plus grande , tangente à la plus petite 

 et parallèle h son grand axe ; la couronne elliptique a pour mesure 

 5î"C'cos«=!rRS en posant C:R ::R:C cos u. 



25. Théorèmes descriptifs. Voici encore plusieurs théorèmes , pro- 

 pres à décrire l'ellipse et d'autres lignes, qui en dépendent, plus ou 

 uioias immédiatement. 



I. Si l'on clierche le lieu géométrique du contact de tonte tangente à 

 l'ellipse et des milieux des cordes parallèles , on trouve , non-seulement 

 un diamètre , mais l'équalion de celui-ci et celle de la tangente proposée. 



II. Le lieu géomëlrique des milieux d'une suite de cordes, partant 

 d'un point P du plan de l'ellipse, dont est le centre , n'est pas une 

 droite , mais une ellipse semblable , de forme et de position , à la pre- 

 mière , son centre étant le milieu de OP. 



m. Le rayon du cercle moyen proportionnel entre les aires des denx 

 ellipses précédentes , est lui-même moyen proportionnel entre le demi- 

 grand axe de la première et le demi-petit axe de la seconde. On peut 

 aisément calculer ce rayon, lorsque 100 et 120 étant les axes de la 

 première ellipse, les coordonnées du point P valent 100 chacune. 



IV. Le lieu géométrique des points qui divisent en trois parties égales 

 chaque corde parallèle à un axe d'une ellipse tracée, est une seconde 

 ellipse concentrique , d'une aire six fois plus petite. 



V. Le lieu gèomèlrique de tous les points où les perpendiculaires , 

 menées du centre sur les tangentes à l'ellipse, coupent les ordonnées des 

 conlacls, prolongées, est une seconde ellipse , semblable à la première , 

 mais inversement située , comme ayant son petit axe sur le grand de 

 l'autre. 



VI. Si pour une même abscisse , l'ordonnée d'une courbe est moitié 

 de celle de la circonférence , l'aire de cette courbe , à trouver, est moiliô 

 de l'aire du cercle. 



VII. Si (x' ,y'] étant un point quelconque de la circonférence donnée, 

 [x,y) est un autre point tel , qu'on ail toujours xy=x'ij'; le lieu géomé- 

 trique de tous ces autres points est une ellipse indéterminée , mais dont 

 l'aire est toujours équivalente à celle du cercle. 



VIII. Dans l'ellipse, rapportée à ses axes 2a et 26, la somme dds 

 deux cordes parallèles à deux diamètres conjugués quelconques, passant 

 par un foyer, a pour expression 2aX2p,2/) désignant le paramètre. 

 (Celle propriété remarquable n'est pas descriptive de l'ellipse). 



IX. Pour décrire une ellipse , dont les axes sont donnés , ou pour 

 décrire une ellipse semblable , d'un mouvement continu , on a le triangle 



