lî)0 J.-N. Noël. — Mémoire sur les 



trique (lo tous les points tels , 1" que la somme des carrés des distances 

 de chacun aux deux axes Jes coordonnées soit équivatenle au carré 

 donné R" ? 2° que R^ soit la somme des carrés des diagonales du parallé- 

 logramme P variable , conslruit sur les coordonnées de chaque point ; ou 

 bien cette somme , plus ou moins l'aire du parallélogramme? (Réponse : 

 chaque fois une ellipse , dont on sait calculer les axes, de longueur et 

 de position , aussi bien que l'aire ; et l'on sait aussi décrire la courbe) . 



Scholie. Le lieu serait une hyperbole, si le carré donné R' devait être 

 équivalent, soit au rectangle des dislances de chaque point aux deux 

 axes , soit à la différence des carrés de ces dislances , soit enfin à -4 fois 

 l'aire du parallélogramme P, moins le carré de la diagonale opposée à 

 l'angle de 60°. Mais le lieu serait une parabole , facile à décrire , si la 

 dislance de chaque point à l'axe des abscisses devait être moyenne pro- 

 porlionnelle entre 12 et l'a; de ce point. 



XVIF. Soit d la longueur de la perpendiculaire élevée au milieu de la 

 droite donnée 2a : si le système se meut de telle sorte que les extrémités 

 de 2a glissent , l'une sur l'axe des x rectangulaires et l'autre sur l'axe des 

 y; l'exlrèmilé de d décrit une ellipse ou deux droites perpendiculaires 

 entre elles, suivant que d n'est pas ou est égale à la demi-droile a; et si 

 rf=2a, l'aire elliptique est triple du cercle décrit par le milieu de 2a. 



XVIH. Deux cercles, de rayons a et 6 , étant tracés sur un plan; le 

 lieu géométrique des centres de tous les cercles tangents aux deux propo- 

 sés , est une ellipse ou une hyperbole, dont les deux centres donnés sont 

 les foyers , suivant que l'un des deux cercles est intérieur ou exlêriear à 

 l'autre , même quand il le loucherait. Le lieu serait une parabole , si 

 l'un des deux cercles devenait une droite hors de l'autre cercle. (Calculer 

 l'aire elliptique lorsque la dislance des centres étant 10, les rayons o et 6 

 valent 30 et 20). 



XIX. Lorsque la circonférence de rayon a donné, est tracée ; si l'on 

 prolonge chacune de ses ordonnées rectangulaires de la longueur cons- 

 lanle 6 , le lieu géométrique de tous les points , ainsi obtenus , est une 

 circonférence égale à la proposée , sans coïncider avec elle. Mais si chaque 

 ordonnée est prolongée d'une longueur égale à cette ordonnée ou égale à 

 l'abscisse correspondante ; le lieu géométrique est chaque fois une ellipse , 

 d'une aire double à celle du cercle , dans le premier cas , et équivalente 

 au cercle proposé , dans le second cas. 



Scholie, Ce triple théorème , remarquable en lui-même , l'est aussi 

 parce qu'en réalité chaque ordonnée est prolongée extérieuremenl au 

 cercle; ce qui donne séparément les moitiés respectives de chacune des 

 trois courbes ci-dessus , lorsque la circonférence proposée est rapportée 

 à son diamètre 2a. Mais si l'origine était au centre et qu'on portât la 

 longueur b sur chaque corde perpendiculaire à l'axe des x reclangu- 

 luiros, à partir de chacune de ses deux exirémilès, on aurail sépa.'-émciit 



