propriétés de l'Ellipse. 191 



les quai(s de la courbe cherchée. (C'est ainsi que procédait M. Noël , 

 professeur de mallicmatiques en ville; lequel, de celle maoière , m'a 

 conduit au théorème proposèl. 



XX. Lorsque l'hypoténuse d'un triangle rectangle variable est sur 

 l'axe des x rectangulaires , à partir de l'origine , et que le côté opposé à 

 celle-ci est double du côté adjacent ; non-seulement le lieu géométrique 

 du sommet de l'angle droit est le système de deux droites ; mais ces deux 

 droites sont les asymptotes de l'hyperbole y' — 4x^= — 4. Et si l'angle 

 à l'origine était double de l'autre , le lieu géométrique serait les asymp- 

 totes de l'hyperbole équilatère y^ — x'= — 1. 



20. Pôles et Polaires dans l'ellipse. Les propriétés des pâles et de 

 leurs polaires , dans les (rois courbes du second degré , se démoolrenl , 

 avec facilité , soit d'après l'équation générale et complète , soit plutôt 

 d'après l'équation commune et aux axes conjugués. Mais pour l'ellipse , 

 la théorie des pôles et des polaires est conséquence immédiate de celte 

 théorie , dans la circonférence , à l'aide des projections orthogonales ; 

 ainsi qu'on peut le voir dans la 2" édition de notre traité de géométrie. Il 

 en résulte les belles propriétés des hexagones incrils et circonscriCs à 

 l'ellipse , et ainsi que différents corollaires , faciles à déduire. Nous ne 

 parlons ici des pôles et des polaires , dans l'ellipse , que pour rappeler 

 l'une des belles applications de la méthode des projections orthogonales, 

 dans la recherche des propriétés de cette courbe. Voici encore d'autres 

 applications. 



27. Tangentes communes. Deux ellipses E et E', semblables de forme 

 et de position , étant données sur un plan ; les circonférences C et C , 

 dont elles sont les projections , se trouvent sur le plan faisant, avec le 

 premier, un angle v dont le cosinus est égal au rapport (de similitude) 

 des deux axes homologues de E et de E'. Or, il y a généralement quatre 

 tangentes communes aux deux circonférences ; donc il y a aussi quatre 

 tangentes communes aux deux ellipses , entièrement l'une hors de l'autre. 

 El ces quatre tangentes se réduisent à trois , à deux, à une seule et à 

 aucune , suivant que les deux ellipses E et E' se touchent exlérieuremenl , 

 »e coupent [en deux points et jamais plus) , se touchent intérieurement ou 

 sont l'une dans l'autre. 



De plus , les tangentes communes vont se couper deux à deux aux 

 lôtes de similitude de deux ellipses et divisent [harmoniquemenl) la Sis- 

 lance des centres de ces deux courbes en quatre segments , proportionnels aux 

 axes homologues. Il est doue facile de construire ces deux pôles , par cha- 

 cun desquels menant deux tangentes à l'une des ellipses , elles sont aussi 

 tangentes à l'autre. 



28. Axe radical. On sait que l'are radical de deux cercles C cl C est 

 la droite qui passe par les milieux des deux tangentes communes exté- 

 rieures. Celle droite , perpendiculaire à la dislaacu des centres, est lelle 



