394 J.-N. Noël. — Mémoire sur les 



Éliminanl x , réqualion finale sera du second degré en y ; le problème 

 aura donc généralement quatre solutions, lesquelles peuvent se réduire à 

 trois , à deux , à une ou à aucune , suivant la position relative et les valeurs 

 particulières des données. Les deux cercles A et B peuvent loucher D d'un 

 oiême côté ; d'où h=a et k=b. Le cercle B se réduit à son centre B , si 

 b=0 ; et alors il faut décrire la circonférence , passant par le point B et 

 touchant les deux lignes J) et A , droite et circulaire. Ce problème admet 

 deux solutions : a et i pourraient être nuls. 



52. Problème II. Trois cercles extérieurs, de centre A,B,C et de 

 rayons a , b , c , étant tracés sur un plan , calculer le rayon x du cercle 

 qui les touche tous les trois. Les données numériques sont a , 6 , c , la dis- 

 tance AB=d , la dislance CK=A du centre C à AB et le segment AK = fc. 

 Les inconnues sont x , y el z , savoir y distance de à AB et z distance de 

 A au pied de y. Or, en supposant a'^b'^c , on a les trois équations simul- 

 tanées , le cercle O étant intérieur : 



{a-\-xr=y'^z\ (b + x)'=y'i{d~z)' 

 el{cix)'={h—yyJr{z-ky. 



L'équation finale en x est du second degré ; il en résulte les rayons et 

 les centres des deux cercles toucbant les trois proposés intérieurement et 

 extérieurement. Changeant c en — c , puis 6 en —6 et à la fois b etc en —b 

 et — c , on aura les rayons et les centres de six autres cercles tangents aux 

 (rois proposés. De sorte que le problème a généralement huit solutions ; 

 lesquelles , à raisons des positions et des valeurs particulières , peuvent 

 se réduire à beaucoiip moins et même à aucune. 



Si c=0 , le problème revient à calculer le rayon et le centre de la circon^ 

 fcrence , passant par un point donné C et touchant les deux cercles tracés 

 A et B. Mais si 6=0 et c=0 , il faudra calculer le rayon el le centre de la 

 circonférence , tangente au cercle tracé A et passant par les deux points B 

 et C , donnés hors de ce cercle. 



Scholie. Pour tracer les huit circonférences, d'après les procédés pure- 

 ment géométriques , il nous paraît qu'il faudrait employer au moins cent- 

 onze lignes ; ainsi le tracé par tâtonnements et le calcul sont ici les seuls 

 praticables : ils sont à la fois les plus simples et les plus exacts , savoir les 

 tâtonnements sur le papier et le calcul sur le terrain. 



ôô. Probliîmes. Calculer le rayon et le centre de la circonférence , 

 d" tangente à deux droites tracées et à [un cercle donné (qui pourrait 

 se réduire à un point donné) ; 2° passant par un point donné , tonchan' 

 un cercle tracé et ayant son centre sur une droite donnée ; 3° enfin , tou- 

 chant deux cercles tracés el ayant son centre sur une droite donnée. 



34. Ellipses tangentes. Les problèmes , fort nombreux , sur les 

 contacts des droites el des circonférences , conduisent , à l'aide des projec- 

 tions , à résoudre les mêmes problèmes sur les contacts des droites et des 



