propriétés de l'Ellipse. 105 



ellipses semblables. C'esl ainsi que Irois ellipses ^einblnbles élant Iracées 

 sor un plan, il existe généralement liuil ellipses semblables, touchant 

 chacune les trois proposées ; et il est possible de calculer le centre et les 

 axes principaux de chacune , de longueur et de position. 



Schotie. On peut aussi résoudre , par une équation du second degré , le 

 problème que voici : Élanl données trois sphères , tangentes à un plan et 

 d'un même côté , trouver te centre et le rayon de la sphère qui touchent tes 

 trois premières et le plan. (Voyez d'ailleurs à la page 389 , 2» édition de 

 la géométrie). 



53. QuADRATUBE DES CoNiQUES. C'est en vertu de l'analogie qui existe 

 entre les trois courbes du second degré , que leur quadrature se lire 

 immédiatement de l'expression du secteur circulaire , à l'aide de certaines 

 séries. Pour cet elTel, M. Bary (Tome XIX des Annales de Malhéma- 

 liqnes) indique une méthode que nous modiGons comme il suit : 



I, Soit S l'aire du secteur elliptique , dont le sommet est an centre et 

 dont a est un côté ; le point {x,y) , donné sur la courbe , étant l'extré- 

 mité du second côté. Soit a' l'arc du secteur circulaire concentrique , de 

 rayon a , répondant à la même abscisse x , el dont l'aire , par suite , est 

 \aa' : on a vu que aS=jaba'. Soit d'ailleurs a l'arc numérique , de 

 rayon 1 , qui mesure l'angle du secteur circulaire; on aura <2'=ax et 



S=|a6ci. 



II. Soit {m,y') l'extrémité de l'arc a' : on sait que 



i -.sia '' :: a;y' '.'• b:y ; d'où 6sin £t=y. 



Substituant donc l'expression connue de l'arc " en fonction de son sinus 

 y sur 6 , on aura 



/ u y' 1-5 u' i -ô-o y' -i 



' A 6 ' W 2-4 56' ^ 2-4-6 76' J 



Or , b'=ap , p désignant le demi-paramètre ; substituant celle valeur 

 de (('.réduisant el observant que pour passera U parabole y ^ ='ipx , i[ 

 suffit de poser a=:oo ; ce qui rend infiniment petits , et consëquemment nuls , 

 les termes divisés par les puissances de a ; il vient 



?,='^a+y{xy. 

 Ici le centre , sommet du secteur S , est situé à l'infini ; donc ce 

 secteur et le triangle \ay sont infiniment grands ; mais leur différence |ir!/, 

 segment de la parabole , entre la courbe et la corde menée du sommet au 

 point connu {x,y) de celle-ci , est un nombre fini et donné. Ajoutant l'aire 

 du triangle rectangle , dont x el y sont les côtés de l'iingle droit , savoir 

 \xy , on aura l'aire de la moitié du segment S', limité par la courbe el la 

 double ordonnée y : donc 



