198 J.-N. Noël. — Mimoire sur les 



III. Soil (ang a = ( ; on H I Uy.x'.y el (=y sur x. Subsliluanl la valeur 

 de l'arc a en fooclion de sa laugente t, savoir t — j«' ■{■'-('— -,t'' + elc. ; 

 observant ensuite que , pour passer du secteur elliptique S=\aba au «*<•- 

 tcur hyperbolique , il faut y changer J et y en b\/—\ et «/(/— 1 , on aura 



S=-iat(r + i«' + .i«'+ï«'+ etc.). 



Or , la série entre parenthèses a pour valeur , comme on sait , la diffé- 

 rence des logarithmes ordinaires de \+t et de 1— (.divisée par 2 fois 

 celui du nombre e=2,71S28I8elc. Donc, comme ce quotient esinégalif, 

 il vient 



„ ab / x+y \ 



S=— — x/f— ^). 

 ve \ x—y J 



Telle est donc l'expression numérique du secteur hyperbolique , dont le 

 sommet est au centre et dont les extrémités de l'arc sont le sommet de 

 la courbe et le point {x,y] , donné sur elle. 



Retranchant cette expression hors de l'aire du triangle rectangle , 

 dont a; el y sont les côtés de l'angle droit , il reste la moitié de l'aire S' du 

 segment compris entre la courbe et la double ordonnée y : donc 



S'=x!/-2S. 



Enfin , si l'hyperbole est èquilalère , d'où x' — y'=a', il est clair que 

 pour la rapporter à ses asymptotes , nouveaux axes des x et des y rectan- 

 gulaires , le point (x.y) sera désigné par (x' ,y') et qu'on aura 



x^/'il=x' -{-y' et yj/2=a.'' — y' ; d'où 

 ir+t/=a;'i/2 , x—y—y'v^'i. et x'y'={a'=h'-. 



Soil T la Iranche comprise entre la courbe , une asymptote , l'ordonnée 

 y' du poiut donné (x',;/') el l'ordonnée h du sommet : il est clair que T 

 vaut le secteur S ; car on aT=S + is'y'— j/i'. Donc 



h'- i' s, ft' a;' ■v 



Différents lieux géomélriques. 



Nous terminerons ce Mémoire par différentes propositions , assez 

 remarquables, sur les lieux géométriques plans et des trois dimensions ; 

 c'est-à-dire sur les courbes planes et les surfaces courbes. 



Courbes I. Dans toute circonférence j/'=2a.r—x', le lieu du pied {r,y) 

 de la perpendiculaire à loule corde , parlant de l'origine , menée du pied 

 de l'ordonnée de l'extréroiiè de cette corde, est la courbe du quatrième 

 degré 



(y'+x')'==^ax'. 



