propriétés de l' Ellipse. 197 



Cette courbe se discutera plus facilement à t'aide de son équation 



polaire; or , le pôle étant à l'origine , el w désignant l'arc de rayon 1 , qui 



mesure l'angle décrit par le rayon vecteur r, depuis l'axe des x , d'oti 



a=rsin " et ï^rcos", on a 



r=2ocos'". 



Celte courbe n'a donc que le seul axe de symétrie 2a : elle limite une 

 sorte de feuille , fermée à l'origine , dont l'aire est les 5 seizièmes du cercle 

 proposé. L'expression de l'aire A cherchée est , en effet , A=4a':/co5'ni; 

 la somme devant être prise , depuis "=0 jusqu'à u=nz=180°='r , n étant 

 un nombre entier infini. 



II. La circonférence y' +a;'=a"' étant tracée , le lieu du pied {x,y) de 

 la perpendiculaire à chaque rayon , abaissée du pied de l'ordonnée de 

 l'extrémité de ce rayon , est la courbe du 6"°° degré 



(y' +x')^— a'i' Ou r'=a' eos*M. 



L'aire limitée est les 5 quarts du cercle proposé ; et celte courbe est une 

 lemniscate. On appelle ainsi toute courbe plane, en tonne du chiffre 8 , 

 dans différentes positions , ayant un centre , deux axes de symétrie , dont 

 un seul réel ou terminé à la courbe. La lemniscate a toujours un point 

 double et une double infleinon en ce point , qui est le centre. Les lemuis- 

 cales sont fort nombreuses , el plusieurs sont fournies par les propriétés 

 du triangle rectangle. 



Scholie. L'aire liaiilée par une courbe polaire donnée se calcule aisé- 

 uienl lorsque le rayon vecteur r est fonction , monôme ou binôme , soit de 

 l'arc " , de rayon 1 , qui mesure l'angle décrit , soit du sinus ou du cosinus 

 de cet angle , pourvu , dans ces derniers cas, que r' soit une fonction 

 rationnelle de chacune de ces lignes trigonomélriques. Telles seraient les 

 différentes courbes : 



r' — a'"=a''^' =a' [/<^ — 6" j^ w'=o'sin "=a'cos'2M=a'siu -}"=«' 

 àra'cos a—a^ ±b'coi,'i!^ =a^sin iadb6^cos"=sin'jM+cosM=etc. 



III. Le lieu du pied de la perpendiculaire abaissée de l'origine sur la 

 droite donnée a , dont les extrémités glissent , l'une sur l'axe des x et 

 l'autre sur l'axe des y rectangulaires, est uue double lemniscate, dont 

 l'aire est le quart du cercle de rayon a. Ce lieu serait une lemniscate sim- 

 ple, si a variable était l'hypoténuse du triangle rectangle cquivalenl au 

 carré C donné ; el alors jC exprime l'aire limitée par la courbe , laquelle 

 par suite est une courbe carrable. Enfin , si la somme des côtés de l'angle 

 droit du triangle rectangle , dont a est l'hypoténuse variable , est cons- 

 lanle et représentée par m; le lieu du pied est encore une lemniscate , 

 dont l'ain? est la moitié du cercle de rayon m. 



IV. Le point ("2a,0) étant donné sur l'axe des x rectangulaires, on 



