198 J.-N. NoKL. — Mémoire sur hs 



mèDe , de ce poiot une oblique quelconque L à l'axe des y , cl de l'origiue 

 on mène sur L , la perpendiculaire P, dont le pied {-c',y') esl sur une 

 circonférence : si l'on prolonge P de2a; l'exlrérailé {x,y) de la longueur 

 P+2a appartient à la courbe 



(y' ■{■ x' -ia.r)' = W{y' i x') ou r=4ocos'^6.. 



L'aire limitée par celle courbe esl triple du cercle de rayon a. 



Scholie 1. On peut calculer l'aire de chacune des deux Icmniscates , obte- 

 nues en prolongeant P, soit de x', soit de y'. 



Scholie II. Par le pied {x' ,y') de P, si l'on mène une parallèle à l'axe 

 des X positifs et si du pied de l'ordonnée y' de l'exlrémité de celte paral- 

 lèle 2a ou X' ou y', on mène une perpendiculaire à P ; le pied [x,y] de 

 celte perpendiculaire appartient chaque fois à une lemniscate , dont on 

 sait calculer l'aire. 



Scholie III. Observons encore que si, par le point donné (2a, 0) , on 

 mène a l'oblique L , la perpendiculaire égale à y' ; rextrémité (x.y) de 

 celle-ci appartient à la double lemniscate r^=o'sin'2". (La perpendi- 

 culaire pourrait être égale soit à x', soit à 2o). 



V. Si du point {k,0) de l'axe des x rectangulaires d'une ellipse , donl 

 2a et 26 sont les axes , on abaisse des perpendiculaires sur ses tangentes ; 

 le lieu de tous les pieds (x,y) de ces perpendiculaires est représenté par 

 l'équation 



{y'-^-x'-kxy=b'y' + a'{x-k)'. 



C'est donc une courbe algébrique du quatrième degré , que l'on peut 

 discuter et en calculer l'aire A , pour diffèrenles valeurs particulières 

 de k. 



i" Si k = c; comme c'=a' —b' , l'équation devient 



{y'is'-a']ly' + (x-c,']=0; 



elle représente donc à la fois le foyer positif et la circonférence décrite 

 sur le grand axe , comme diamètre. 



2° Si fc=0 , l'équalion se simplifie el devient 



{y'--irx')'=b'-y'-+a'x\ 



Celle courbe , circonscrite à l'ellipse proposée , la touche aux quatre 

 sommets et a plusieurs points d'inflexion. Ce qui est remarquable ici , 

 c'est que l'aire A , limitée par la courbe , s'obtient immédiatement a 

 l'aide de Vanalogte , comme il suit : si 6=0 , l'aire se réduit aux deux 

 cercles , ayant chacun jo pour rayon , et l'on a A=iTo'. Mais si 6=ro , il 

 vient A^^^a' . 11 faut donc , pour satisfaire à ces deux conditions parti- 

 culières , qu'on écrive A=jT(a' + 6')- De sorte que la somme el la dillè- 

 ronce des aires , limitées par la courbe elpar l'ellipse, équivalent respec- 

 tivement aux demi-cercles , de rayons a-tb el a— 6. 



