propriétés de F Ellipse. 199 



3° Si k= — 0, il est clair , en changeant x enx+a,que la courbe devient 



Si i=0 , l'aire A devient A=^a^ ; si a=0 , on a A= j'ifc' ; et si 6=0 , 

 l'équation polaire donne A.=~'^a^ . Pour que l'aire A cherchée satisfasse à 

 ces trois conditions particulières, il faut donc qu'on ail A=''(a'-f j6'). 

 El si l'on posait fc=^ — 6 , on trouverait de même l'expression de l'aire A. 



4° Pour l'hyperbole , 6' devient —6^ ; donc si alors fc=0 , il vient 



(»'+»') -aV-6'!/^ 



Dans ce cas, c'=o'-|-6' ; et le lieu des pieds est la lemniscate repré- 

 sentée par l'équation polaire 



r'=a' — c'sin'u. 



Ici, pour calculer l'airo A , depuis "=0 jusqu'à csin<J=±a , la mé- 

 thode précédente ne pourrait point s'employer : il faut poser w=nï , n 

 étant un nombre entier infini; chercher ensuite l'expression du v ième 

 secteur élémentaire, savoir \a^ z — \czi\a'vz, d'où 



A=2o'na— 2a'z/siaînï ; 



et l'on trouvera , d'après l'expression de la somme /sin'ni , où nî=u , 



A.=(a'—b')a+ab. 



VI. Soit (x',y') un point quelconque de la circonférence x'4-y^=a' : 

 si l'on prolonge le rayon en ce point de la longueur x', le lieu géométrique 

 de tous les points , ainsi obleiius , est la courbe composée de quatre bran- 

 ches , égales et opposées deux à deux , chacune en forme de cœur ei 

 représentée par la quadruple équation polaire r=±a±a cos". L'aire de 

 chaque branche est les 3 moitiés du cercle proposé. 



SchoUe I. On aurait la même courbe , si l'on prolongeait le rayon a de 

 \'y' de son extrémité. On pourrait le prolonger d'une longueur égale â la 

 moyenne proportionnelle entre a et x' ou entre a ety' . 



Sckolie II. Et si le sommet d'un angle droit mobile est an centre de 

 la circonférence proposée , [x',y'} étant le point où elle est rencontrée par 

 le premier côté de l'angle ; quelle est l'aire de la courba décrite par le 

 point {x,y) , situé sur le second côté , à la distance a+y' ou a-j-a;' du 

 centre? 



Scholie III. Si la circonférence est y'-{-x'='iax et qu'on prolonge 

 chaque corde, menée de l'origine, d'une longueur égale à Vx' ou à Vy'- 

 de son extrémité; le lieu de lous les points ainsi oblenus , est la courbe 

 polaire r— 2a(cos'j+cos^w) , où u croît depuis jusqu'à ±90". On peut 

 calculer l'aire limitée. 

 Surfaces du second ordre I. Toutes les surfaces du ;ccor.d ordre , ayant 



