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un centre , soiil représentées par l'équation 



Ax' + Vy'+Cz'=.l , . . . (1) 



laquelle est aux axes principaux ou aux axes conjugués , suivant que le 

 Irièdre des coordonnées est droit ou non. On sait que cette équation repré- 

 sente V ellipsoïde , Vhypcrboloïde à une nappe ou \'hypcrboloïde à deux 

 nappes, suivant que les trois coefficients donnés A , B , C sont positifs , 

 ou que C est seul négatif, ou enGn que A est seul positif. De plus , si 2a > 

 26 el 2c désignent les trois axes principaux ou les trois diamètres conjugués , 

 sur les axes des x , des y et des 2 respectifs , on aura 

 Ao'=l, W=l BlCc'=l. 



Il importe souvent de calculer les longueurs des trois axes principaux 

 2a , 2ft , 2c ; ce à quoi l'on parvient , par les relations précédentes , si le 

 Irièdre des coordonnées est droit. Mais s'il est oblique ^ soient p ,q ,r les 

 cosinus des angles (xj/) , {xz) et (J/z); soient p', q', r' leurs sinus. Si d est 

 un demi- diamètre de l'une quelconque des trois surfaces proposées et 

 qu'on pose d' = u, on trouve, pour calculer les trois demi-axes princi- 

 paux a, 6, c, c'esl-à-dire les trois valeurs de \/u , l'une maximum , 

 l'aulre minimum et la troisième entre ces deux-là , l'équation 



A^Cu'-{A\i+AC+iiC)u-+{Ar''+Bq''+Cp'')u 

 —{i-p'-q'-r'+<ipqT)^0 .... (2) 



Celle équation fournit immédiatement les trois relations connues entre 

 les diamètres conjugués et les axes principaux. 



n. Pour appliquer cette équation , soient " , p , y les inclinaisons res- 

 pectives des trois axes des z , des y et des x sur les plans des xt/ , des j-s 

 et des yz ; soient d'ailleurs z', y', ^' les distances à ces plans d'un point 

 quelconque de l'espace : on aura z' = 2 sin - , y'=y sin jS et x'=x sin y. Cela 

 posé , si l'on cherche le lieu géoniélrique de (ous les points {i:,y,:] tels , 

 que le carré donné R' soit, 1° la somme des carrés des dislances de cha- 

 cun aux trois plans coordonnés, 2° l'excès de la somme des carrés des 

 dislances aux plans des yz et des xz , sur le carré de la distance au plan 

 des xy , 3' enfin , l'excès du dernier carré sur la somme des deux autres ; 

 il est clair qu'on aura chaque fois , pour représenter le lieu cherché, une 

 équation de la forme (1), dans laquelle les coefficients A , B , C seront les 

 rapports de sin^v , sin"j3 et sin'a à R". 



Si les angles plans (xy) , {xz) et (yz) sont égaux à 60°, d'où p=î=r=î 

 el p'~q'z=r'={[/ô , on aura sin^='-^sin'|3=sin"'/=| : donc , pour l'ellip- 

 soïde proposé , o=2R , 6=c=R ; pour l'hyperloloïde à une nappe , 

 2a = Ri/(l.j-(/17) , 26=2R el 2c Rj/(1— 1/17) ; enfin pour l'hyper- 

 boloïde à deux nappes , on a 2a=iR|/( — 1 il/il) , 26=2I1|/— 1 el 2( = 

 Ri/ (-1—^/1 7). 



On peut encore calculer les axes principaux des trois surfaces , 1° lors- 



