propriétés de V Ellipse. 201 



que l'angle (œi/) = 90° el l'angle (*z)=(î(3) = 60°, 2» lorsque (^î/) = 60° el 

 (.r«) = (!/2)r=90°. Dans chacun de ces cas , quel sérail le lieu géométrique , 

 si l'on devait avoir i'4/'+a;'î'-f y»'=R'? ou R'=:a;'i/'-fœ'a'— yV? ou 

 enfin , R'=a;'^' — x'z'— j/'z' T 

 III. Pour connaître le genre de la surface représentée par l'éqnation 



Aa!'+By'+C«'+2D«v+2Ea;ï-|-2Fi/î = G, . . . (5) 



dans laquelle les coordonnées sont rectangalaires; soit d un demi- 

 diamètre quelconque de la surface proposée et soit d'î)=G : il faut donc 

 calculer ses axes principaux , en cherchant le maximum et le minimum 

 de d° ; or, en éliminant d'abord G entre (3) et i'x^-}-d2/^-)-i)i^=G , ce 

 maximum et ce minimum répondent aux valeurs de v dans l'équation 



î)'— (A+B + Cy-l-(AB+AC+BC-D'— E'— F=)« 

 — (ABC+2DEF-CD'-BE'-AF')=0 ... (4) 



Cette équation symétrique est facile à retenir : pour l'appliquer à la 

 recherche des axes principaux de la surface 



les coordonnées étant rectangalaires , il faudra d'abord faire disparaître 



les termes affectées des premières puissances des variables x , y, »• Or , 

 pour cela , il faut , comme on sait , dériver l'équation successivement par 

 rapport à chacune des coordonnées ^ ,i/,z , considérée comme seule 

 variable , et égaler chaque dérivée à zéro ; ce qui donne les trois équa- 

 tions simultanées : 



8œ-16=0 , -2^-{-4s+2=0 et — 2i+4i/-4=0. 



Ces équations donnent , pour les coordonnées de la nouvelle origine du 

 système parallèle , a;=2, !/ = ! et s=-Q : ce sont les coordonnées du ceiKre 

 de la surface; de sorte que ces valeurs réduisent 4j- — y'~-z'+'tyz — I6.c 

 + 2î/— 42-21 à —36 , et que par suite on a , pour l'équation de la sur- 

 face , rappariée à son centre , 



ii.'-y'-z'iiyz=ùG. 



L'équation (4) devient par conséquent 



«»_2î)= — ll«-f-12=0; 

 d'où v=l , t) = 4 et «=—3 , puis a'^oQ , 6^=9 et c'= — 12 l.a sur- 

 face est donc l'hyperboloïde à une nappe a;' +4y^— 3-'=36. El l'on peut 

 calculer l'aire de la section faite par le plan 2=a:— 2. 



Propositions. Voici d'autres applications de l'équation (4) au calcul 

 des axes principaux : Les coordonnées rectangulaires de chaque point 

 d'une surface algébrique sont les trois dimensions d'un parallélipipède 

 rectangle P juécessairenieut variable , et l'on a cette suite de propositions : 



