202 J.-N. Noël. — Mémoire sur les 



1° Si le carré numérique douué K^ équivaut à la surface totale de P, 

 tous les points proposés apparlieoneat à l'hypcrboloïde à deux nappes de 

 révolution ; car2a=21t et 26 = 2<;=2R|/— 1. 



2° Si R' est l'excès de la surface latérale de P sur la somme de ses 

 deux bases , ou réciproquement , on aura chaque fois un hyperboloïdc. 



3° Si P.^ équivaut au carré fait sur la diagonale de P , plus ou moins la 

 surface totale , tous les points proposés constituent le système de deux 

 plans ou l'byperboloide de révolution. 



4° Quelle serait la surface , si R^ devait valoir le carré de la diagonale 

 de P , plus ou moins la double somme des deux bases ? Ou cette double 

 somme moins le carré ? ou bien le carre fait sur la diagonale de P, plus 

 ou moins la surface latérale , ou réciproquement ? ou bien encore la 

 somme des carrés des quatre diagonales de P , plus ou moins la surface 

 totale ? Quelle serait aussi la surface , lieu de tous les points proposés , si 

 l'on devait avoir :'+2a;»/=ô6? oa z' — 2^i;=C.i?ou enfin, si P devait 

 toujours être équivalent an cube donné 123 ? 



Remarquons d'ailleurs que les coordonnées étant rectangulaires dans 

 les deux surfaces concentriques 



'2xy-]-ixz-2,j:=h' et Axij-{-Sxz—.lyz=k' ; 



on peut calculer les trois axes principaux de chacune et prouver ainsi 

 que ce sont deux hyperboloïdes semblables , à une nappe. De plus , si on 

 les coupe par le plan s=x — y; non-seulement les deux sections sont 

 semblables , mais de plus l'aire de la projection de la première , sur le 

 plan des x-y , est équivalente au cercle de rayon h ; d'où résultent ensuite 

 les aires des deux sections. 



Remarquons enfin que , dans les surfaces du second ordre ayant un 

 centre , la somme algébrique des inverses des carrés de trois diamètres rec- 

 tangulaires quelconques est une grandeur constante. On peut même calculer 

 numériquement cette somme dans chacune des surfaces représentées par 

 la double équation 



x'-^y'-\-8ii'—Uxy-{-'2x-iiy + 1C2=63 = -81 . 



Mais il faudra d'abord écrire les équations aux axes principaux. 



IV. Les coordonnées étant rectangulaires , dans les cinq surfaces du 

 second ordre , soit S le segment et h sa hauteur , à partir de l'origine , la 

 base étant parallèle à l'un des plans coordonnés et l'origine étant au som- 

 met de la surface. Les plans parallèles à la base de S divisent h en un 

 nombre infini n de parties égales à « , d'où h=nu , et ils divisent S en n 

 tranches , toutes de même épaisseur u infiniment petite ; la v ièmc de ces 

 tranches , à partir du sommet , n'est donc au fond qu'un cylindre droit , 

 dont la mesure est le produit de sa base par u. Cherchant donc la mesure 

 de celte base , d'après l'équation de la surface, on aura l'expression de 

 la V ièmc tranche T de ? ; dans laquelle faisant successivement v=i ,2, 



