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propriétés de l'Ellipse. 203 



ô , i, . . . ,n , puis prenant la somme et observant que 



fn=y,fn'='y , fn'^y-, etc. , 



on aura l'expression du volume S, indépendante de n et de u. Appli- 

 quons cette méthode aux cinq surfaces , du second ordre , rapportées 

 à leurs axes principaux : 



1" Pour l'ellipsoïde , où l'on change d'abord x en x — o , afin de placer 

 l'origine, qui était au centre, à l'extrémité négative du grand axe 2a , et 

 où h se mesure sur 2a , à partir de ce sommet , on trouve 

 a''S:=itbc{au'v—u^v'} et a'S=-^beh'{a — ;A). 



2° Pour V hyperboloïde à une nappe, où h se trouve sur le demi-axe 

 imaginaire c , à partir de l'ellipse de gorge, il vient 



c'T=-xab[c'u-{-u'v') et c'S^mbh[c'+{h'}. 



3° Pour V hyperboloïde à deux nappes , h étant le prolongement du 

 demi-axe a réel , on trouve 



a'T=:,Jc(ou='!;-|-«'t)=) et o'S=7i6cA'(a+iA). 



4° Pour le paraboloïde elliptique ay'+bz'=abx , où x=h , on a 

 T=7ru't.|/(a6) et S=i7iAV{a6)- 



5° Enfin , pour le paraboloïde hyperbolique ay'—bx'=abx , où le seg- 

 ment S est limité par la surface, le plan des yz et le plan z=h , on trouve 

 ôa'T=Au'v'l/{2ab) et oa'S = h'f/{2ab]. 



Observons que si h=c , dans l'hyperboloïde à une nappe , et si A=a , 

 dans l'hyperboloïde à deux nappes, il vient chaque fois S<=^'^abc , c'esl- 

 à dire le volume de l'ellipsoïde , pour lequel /i=2a. 



6° On voit que, pour calculer le volume du segment S , dans les cinq 

 surfaces dii second ordre, ce qui est parfois nécessaire, il faut d'abord 

 calculer les axes ou les paramètres principaux , comme dans les différentes 

 questions sur les lieux géométriques , que nous allons énoncer. M;iis 

 avant, observons que, les coordonnées étant rectangulaires, dans la 

 conique j/' = 2pa;-f ga:'', si S désigne le segment de cette courbe , inlerceplé 

 par la double ordonnée qui répond à x=h , et si d est la distance de 

 l'origine à la droite D , parallèle à l'axe des y et placée hors du segment ; 

 le volume engendré par la révolution de S autour de D , a pour 

 expression 



vol. S=S.2''d±^A'(p + iî/i), 



le signe + ayant lieu lorsque l'arc de S est concave et le signe — quand 

 il est convexe vers D. 



Ce théorème fournit plusieurs conséquences utiles , faciles à prévoir. 

 il en résulte le moyen de calculer le minimum de l'argent fin employé à la 

 confection d'un vase cylindrique droit , dont la paroi doit avoir partout 

 un millimètre d'épaisseur, tant pour la base ellipiique (ou circulaire) et 



