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nous suffira de considérer le dernier , la mèlliode èlanl analogue pour 

 les (rois auires. Soit {j"' ,y') le conlacl de la droite y~y'—n{x — x') avec 

 la courbe cherchée ; soient k el h les sommes algébriques des ordonnées 

 et des abscisses rectangulaires des m sommets du polygone donné dans le 

 plan des xy : on aura d'abord k—my' — n{h — nia;')==mui/(l +«')• Comme 

 n est inconnn , on observe qoe , pour la tangente immédiatement consé- 

 cutive , n se change en n-\-v , v étant infiniment petit , et que par suite le 

 contact (x',y') ne change point ; d'où résulte la valeur de n , etc. (Voyez 

 le tome XX des Annales de Mathématiques , p. S9 et 307). 



Vif. Les milieux des cordes , interceptées par une sarface dn second 

 degré , sur tontes les droites menées d'un point donné , appartiennent à 

 une antre surface dn second degré , passant par le point donné. Ainsi ce 

 point étant (2,2,0) et les coordonnées rectangulaires , l'hyperboloïde à 

 une nappe x'-^y'-^ùz'—Axy=lS , fournit l'hyperboloïde à deux nappes 

 x'-\-y'-^âz'—ixyJr1lx-\-2y—0; l'ellipsoïde 2a;'-(-j/^ + z'— 2a;y=36 , 

 fournit l'ellipsoïde semblable 2x'+y'+ï' — 2xy—iOx—8x=0 ; le cylin- 

 dre i base elliptique x' -\-y'-\-z'-{-'ixy=\8 , fournit le paraboloïde 

 elliptique a' 4-ï'+='+2i!;!/ — ix — 4!/=0 ; etc. 



VIII. La surface sphérique , de rayon a donné , étant rapportée à ses 

 axes principaux ; si l'on prolonge extérienrement le z de chaque point , 

 de la longueur constante p , ou d'une longueur égale, soit au j soit à \'x 

 ou à 1'!/ du même point ; le lien géométrique de tous les points , ainsi 

 obtenus , est une sphère égale à la proposée , dans le premier cas , et un 

 ellipsoïde , dans chacun des trois derniers. Le volume de l'ellipsoïde est 

 les trois demies de celui de la sphère, dans le second cas; tandis que 

 dans le 3' et le 4' cas, il en est les trois quarts. Et si, à partir de son 

 pied , on prolongeait l'y et le z de chaque point du double de Vx du 

 même point , on aurait encore un ellipsoïde , dont le volume serait 

 les 3 quarts de celui de la sphère. (On pourrait d'abord considérer la snr- 

 facea;'+y'— z'=a',etc.). 



IX. Dans toute surface du second ordre, ayant un centre, le triangle 

 qui joint les extrémités de trois demi-diamëlres rectangulaires quelcon- 

 ques, est tangent à la surface sphérique concentrique. El si Ax'-\-By' 

 -|-Cz^^D désigne la surface proposée , rapportée à ses axes principaux ; 

 en passant du système proposé à un autre , aussi rectangulaire , de même 

 origine , le rayon r de la sphère sera donné par (A + B-(-C)r'=D. 



Scholie. Les mêmes calculs prouvent qoe la somme des carrés inverses 

 de trois diamètres rectangulaires quelconques est une grandeur constante. 



X. Le lieu géomélrique du sommet d'un trièdre droit mobile , dont les 

 arêtes tonchent constamment l'ellipsoïde lQx'-{-iy'-\-z'=l& , est un 

 antre ellipsoïde, savoir '20x'lly'-{-oz'=8i. 



C'est ce qu'on démontre en passant dn système proposé à un antre , 

 aussi rectangulaire , d'nne autre origine. On peut aisément calculer la 

 différence des deux volumes. 



