propriétés de l'Ellipse. 2()7 



maDdé csl la surface lalérale du cylindre droit , à base parabolique 

 x'^IO:i:, et dont le volume, pour j:=IO et !/=12 , est 1600). 



Scholie. Si la somme des carrés des dislances devait valoir un carré 

 donné , le lieu géométrique serait on ellipsoïde de révolution; tandis qae 

 ce serait un cylindre parabolique , si 56 était la différence des deux carrés 

 des distances. Mais si l'une de ces deux distances devait être double de 

 l'antre , on aurait un ellipsoïde on un hyperboloïde de révolution. 



XV. Quel est le lieu géométrique de (ous les points tels, que la dis- 

 lance de chacun à l'axe des x rectangulaires , soil moyenne proportion- 

 nelle entre la longueur 10 et l'ir de cette dislance? Quel est le volume 

 limilé par la surface résultante et le plan a;=40? Enfin , quelle est l'aire 

 de la section faite par le plan 2i/-i-2i:— a;-|-4=0 ? 



XVI. Si chaque point d'une surface est lel , que sa distance à l'axe 

 des X rectangulaires , augmentée de A , soit double de Vx du pied de celle 

 dislance ; quel est le volume numérique , limité par la surface , le plan 

 des yz et le plan a;=10? Calculer aussi l'aire d'un segment de la section 

 faite par le plan 2a; — z — 3=0. 



XVII. Les coordonnées étant rectangulaires , quel est le genre de sur- 

 face représentée par !/z=20a;? Peut-on calculer le volume limité par la 

 surface , le plan des yz et le plan 2^ 10 î Peut-on calculer aussi l'aire de 

 la section faite par le plan des xy , aire comprise entre la courbe résul- 

 tante et la parallèle a;=12 ? Quelle est la surface x'=2yz 1 ou x'=4,yz 

 -\-a'1 



XVIH. Un plan et un point extérieur étant donnés , quel est le lieu 

 géométrique de tous les points tels , 1° que la dislance de chacun au point 

 proposé soit égale à la dislance au plan? 2° que la distance au point soit 

 double de la dislance au plan ? 5° que la distance au plan soit double de la 

 dislance an point? 4° que la somme des carrés des deux dislances soit 

 équivalente au carré donné 64 ? 5° Enfin , que la difïérence des deux 

 carrés , prise des deux manières, soil équivalente au carré donné 36? 

 Peut-on chaque fois calculer l'aire d'un segment de la section faite par le 

 plan x—y-\-z=0 ? 



XIX. Si l'on cherche le lieu géoméirique de tous les points tels , que le 

 i de chacun soit la hauteur menée de l'angle droit du triangle rectangle 

 variable , dont l'hypoténuse , parlant de l'origine des coordonnées rec- 

 tangulaires, se trouve sur le plan des xy , et dont le côlé opposé à l'ori- 

 gine est constamment double du côlé adjacent ; on trouve le cône asymp- 

 tote de l'hyperboloïde x'^y''—^z' =1 . On aurait encore un cône asymp- 

 tote, si l'angle à l'origine était double de son complément, ou si l'on 

 prolongeait au-delà du sommet de l'angle droit, le côlé double d'une 

 longueur égale à la sienne ou égale à sa moitié. Mais si le second segment 

 de l'hypoténuse doit valoir constamment ^ , on aura la surface de révolu- 

 tion z*=lQ{x'-^y'] , dont le volume, depuis i=0 jusqu'à z = iO , est 

 125'^. 



