208 J.-N. Noël. — Mémoire sur les 



Surfaces algébriques. Voici plusieurs proposilions sur la génération 

 des surfaces Algébriques , de différenls ordres : 



I. L'oblique quelconque h au plan des yz étant menée par le point 

 (2a, 0,0) de l'axe des i rectangulaires; si parce point , on mène à l'oblique 

 cl dans le plan La: , la perpendiculaire N (parallèle à la perpendiculaire 

 P à L, menée de l'origine, {x\yi,i') étant le pied do P) ; l'cxlrémilé 

 {x.y,z] de N appartient à la surface sphèrique , dont 2a est le rayon , si 

 N=:^2a ; et siN = a;', l'extrémité de N appartient, par le changement do 

 a; — 2a en a; , à la surface du O™" degré : 



C'est une snrface de révolution , autour de l'axe des x , décrite par la 

 demi-courbe polaire r' = 4a'cos'u ; et c'est aussi le lieu du pied de la per- 

 pendiculaire , à chaque rayon Sa de la sphère , abaissée du pied du : de 

 l'extrémité de ce rayon. Le volume limité est les 4 cinquièmes de celui 

 de la sphère de rayon a. 



Scholie. On peut aussi calculer l'équation de la surface qui répond aux 

 hypothèses de N=i/',2' ou L , etc. 



II. Si l'on prolonge de 2a la perpendiculaire P, menée de l'origine , 

 sur l'oblique quelconque L , au plan des yz , tirée du point donné (2a,0,0j, 

 les coordonnées étant rectangulaires ; le point (x,y,z) , ainsi obtenu , 

 appartient à la surface 



{i'-'ry'-\-x'-—1ax)-=^W(z^-\-y--^x'). 



C'est une surface de révolution , autour de l'axe des x , décrite par la 

 courbe polaire r=4acos^ ia , depuis w = jusqu'à w = 180°. 



Scholie. Si P est prolongée de x', l'extrémité (x,y,z) de P-(-x' appar- 

 tient à la surface 



{z'-{-y'-{x^){z'--\-y'-\-x'--'2ax)'^ia--x'. 



C'est encore nne surface de révolution , décrite autour de l'axe des x 

 par la demi-courbe polaire r='2a(cosu-|-cos'u) ; et l'on peut calculer 

 l'aire limitée par cette courbe. (On pourrait prolonger P de y', de z' , 

 de L, etc.). 



III. Observons encore que si du pied du i' de l'extrémité de P, on 

 abaisse une perpendiculaire à P ; le pied {x,y,z) de cette perpendiculaire 

 appartient à la surface 



{x'+y'izn'-==^ax{x'-\-y'). 



KUe louche à l'origine le plan des yz ; elle est coupée , par les plans 

 des xy et des xs , suivant une circonférence et suivant la courbe polaire 

 r=2acos ^" , dont on sait calculer l'aire; etc. 



Scftoiî'e. Par le pied de l'oblique L et dans le plan Lx, si l'on mène , a celte 

 oblique , la perpendiculaire égale , soit à 2(i , soit à L , à x, à y' ou à :' ; 



