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on peut chaque fois c.ilculi;r l'équilinn du lieu Je l'exlréiuilé de celle 

 perpendiculaire. 



IV. Si par chaque point {x',y\z') de la surface sphérique , dont a est 

 îe rayon , on mène la parallèle b à l'axe des x rectangulaires ; quel sera 

 le lieu gèomélrique de l'exlrèmilé (^,!/,:) de cette parallèle , quand on 

 supposera 6 égale k a , à x', à y' ou à c' ? La parallèle étant égale à a ou 

 à x' ; si du pied du z de son extrémité on abaisse , sur le rayon a , abou- 

 tissant en (x',y<.,2') , une perpendiculaire ; !e pied (x,y,s) de celle-ci appar- 

 tient à la surface 



{x'-+y'+z'){x'+y'+z'-axy=a-{ix'-+y'-)\ 

 ou bien à (x-+y'+zy=a'{2x-+y')\ 



V. Calculer le rayon de la surface sphérique , lieu des pieds de toutes les 

 perpendiculaires abaissées , de l'origine des coordonnées rectangulaires , 

 sur les droites menées par le point {2,2, -4). De plus , si par le pied 

 {x',y',z') de chaque rayon , on mène au plan des xij , la parallèle 8 , quel 

 sera le lieu géométrique de l'extrémité {x,y,z} de cette parallèle telle , 

 qu'on ait toujours a:' = !/ î 



Scholie. Les propriétés des plans tangents aux surfaces du second 

 ordre foornissent plusieurs problèmes remarquables , sur la génération 

 de certaines surfaces algébriques , problèmes que nous avons considérés , 

 p. 5S6 et suiv. du traité de géométrie analytique. 



Vf. La sphère étant rapporlée à ses axes principaux ; si l'on prolonge 

 chaque rayon a d'une longueur égale à \'x' de son extrémité {x',y\z') , le 

 lieu géométrique de tous les points (x,y,z) , ainsi obtenus , est la surface 

 {x^+y'+z^—ax]^=a'[x'+y'\z'). 



C'est la surface de révolution , autour de l'axe des x , décrite par la 

 demi-courbe polaire r=2a cos ' ju , ayant le seul axe de symétrie 2a , 

 sur l'axe des x. L'aire A , limitée par cette courbe , peut aisément se 

 calculer ; et l'on peut aussi calculer le volume limité par la surface pro- 

 posée , laquelle est semblable à la surface , déjà considérée plus haut. 



Mais observons que la courbe polaire a réellement pour èqualioa 

 r=d=a±acosu ; elle est donc composée de quatre branches, égales 

 entre elles et opposées deux à deux ; et elle est inscrite dans le carré 

 construit sur 4a. (On peut calculer l'aire limitée par les parties exté- 

 rieures des quatre branches : ce calcul donne fîta^-j-Oa'). 



Courbes polaires. Voici diverses courbes remarquables, que l'on 

 peut représenter par des équations polaires, pour les discuter et pour 

 calculer plus aisément les aires limitées par ces courbes. 



I. Les coordonnées étant rectangulaires et l'origine au centre, soit 



(X,y) on point quelconque de la circonférence , dont a est le rayon : si ^ 



à partir de l'origine , on porte sur la droite qui la joint au point (X,Y) . 



la longueur X , ou Y, ou X-t-Y, ou a+X, ou o+Y, ou a — X , ou a \ X 



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