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-j-Y, ooa+'X— Y, etc.: quiil csl chaque fois le lieu gèoméirique ilu 



point {s,y) , ainsi obtenu ? 



L'une (les courbes cherchées a pour équation 



{x'+i/y=a'lx+y)' ; 



d'où résulte l'équation polaire 



r' — a'{ cosoj-j-sin «)" . 



C'est le système de quatre circonrèrences , ayant chacune {ai/i pour 

 rayon , et passant toutes par le centre de la proposée. Mais si l'on ajoute 

 toujours entre elles les valeurs absolues de cos-j et de siûw , l'équaliou 

 polaire représente uniquement la courbe plane extérieure , composée des 

 quatre demi-circonférences égales, s'arrètant à la circonférence proposée , 

 où elles forment quatre points de rebroussement. La longueur de celte 

 courbe est donc ^Tta^yî; et quant a l'aire limitée , il est facile de voir, 

 soit directement , soit par l'équation polaire , que celle aire a pour mesure 



Pareillement , en ne considérant que les valeurs absolues de sin ^ et 

 des ces 01 , l'équation polaire 



r^=o'(cos M— sinu)' , 

 représente la courbe intérieure composée des quatre demi-circonférences 

 reslantes : c'est une sorte do double lemniscale , dont l'aire a pour me- 

 sure ^a'—ia'. 



II. Lescoordonnées étant rectangulaires et l'origine au centre, soit (X, Y) 

 un point quelconque de la circonférence , dont a est le rayon : si , à partir 

 du centre , on porte sur l'axe des y successivement chacune des lon- 

 gueurs X,V, X-t-Y, X— Y,a-fX,a— X,a-l-X-j-Y,a4-X— Y, etc.; quel 

 est chaque fois le lieu géométrique du pied tx,y) de la perpendiculaire 

 abaissée, du point ainsi obtenu , sur la droite passant par le point (X,Y) 

 et l'origine ? 



L'une des courbes cherchées a pour équation 



{x'-i-yy=^a'y'{x+yy ; 

 d'nù résulte l'équation polaire 



r'=o'siu'u(cos ta-t-sia '■<)'. 



Si donc on a égard seulement aux valeurs absolues de sin u et de cos" , 

 la courbe est composée de deux branches égales, en forme de cœur, 

 opposées au centre du cercle et de la courbe , où celle-ci a une double 

 ■inflexion. Mais si l'on a égard aux valeurs négatives de cos cj , il en résulte 

 la double lemniscate , représentée par l'équation polaire proposée. 



Une autre courbe est représentée par l'équation polaire 



r'=a'sin'<^(sin 01— cos ai)' . 



