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^^iniplifie celle des limites : c'est par analogie que l'on est conJuil ft 

 regarder toute ligne courbe comme une ligne brisée, composée d'une 

 infinité de côtés , ioGnimeut pelils. Telle est, par exemple, la circonfé- 

 rence ; car , plus est grand le nombre de sommets du polygone régulier 

 circonscrit au cercle , plus son périmètre a de points communs avec la 

 circonférence ; plus il approche de coïncider avec cette courbe ; et la 

 coïncidence serait complète , évidemment , si le nombre de sommets était 

 le plus grand possible. L'analogie conduit donc à regarder le cercle comme 

 le polygone régulier du plus grand nombre de sommets , dont le rayon et 

 l'apothème sont égaux et dont les propriétés sont , par suite , absolument les 

 mêmes que celles de tout polygone régulier. 11 eu résulte immédiatement 

 que 1° les circonférences des cercles sont entre elles comme leurs dia- 

 mètres ; et parlant le rapport n de la circonférence à son diamètre est un 

 nombre constant et irrationnel ; 2° tous les cercles sont des figures sembla- 

 bles ; l'aire de chacun étant le produit du nombre ^ par le carré numéri- 

 que de son rayon. 



Ces propositions sont conséquences si immédiates , si claires et si 

 rigoureuses du principe d'analogie directe , qu'il y a lieu de s'étonner de 

 ce que ce moyen de recherche ne soit pas encore généralement adopté 

 dans les traités élémentaires de géométrie , à l'exclusion de tout autre , 

 nécessairement plus compliqué et toujours très-obscur , faute de défini- 

 tions complètes. 



Croit-on , par hasard , que les longues et inutiles réductions à l'absurde, 

 employées à démontrer ces propositions , puissent apprendre quelque 

 chose aux élèves , qui n'ont pas clairement la notion des grandeurs incom- 

 mensurables entre elles ? Ne faut-il pas d'abord la définition de ces gran- 

 deurs? El si l'on possède celle définition , à quoi bon la réduction à 

 l'absurde? 



La véritable définition est : deux grandeurs de même nature sont dites 

 incommensurables entre elles , lorsqu'elles n'ont d'autre commune mesure 

 qu'une quantité infiniment petite x, d'un ordre quelconque. Celte quan- 

 (ilé X , toujours inconnue , n'en existe pas moins certainement , puisque 

 deux grandeurs o et 6 , de même nature ont toujours un rapport exprima- 

 ble ou inexprimable exactement en chilTres ; chose incontestable et admise 

 par tout les géomélres. 



Si l'on disait que les grandeurs a cl b sont incommensurables , parce 

 qu'elles n'ont absolument aucune mesure commune , il s'ensuivrait 

 qu'elles n'ont absolument aussi aucun rapport ; car dès qu'il y a rapport , 

 il y a aussi mesure commune , assignable , inass'tgnable ou infiniment 

 petite ; et l'on couçuil que le rapport a:b n'existant pas , il est inulile de 

 s'en occuper. 



On est donc forcé , pour être clair cl logique, d'admettre la définition ci- 

 dessus des grandeurs incommensurables ; ce qui ramène ioévilablenienl a 



