propriélh (le l' Ellipse. 2.13 



la mélhode infinitésimale , et par conséquent à celles des parties égales , 

 dans les proportions. Si, en effet, to et n étant deux nombres entiers, 

 finis ou infinis , on a A—mx et B—nx , d'où A : B=mir : nx=ni : n ; et si l'on 

 démontre ensuite que C=tBy etD=ny, d'où C:'D=my:ny=m:n; on 

 Terra que A:B=C:D. 



Celte mélhode des proportions , très-simple et très-claire , est d'ail- 

 leurs complètement exacte , bien qu'on y raisonne sur des communes 

 mesures inconnues : elle devrait seule figurer en géométrie, si elle 

 n'était pas suppléée souvent par le principe d'analogie directe , tout 

 aussi clair el aussi rigoureux , mais plus simple , en certains cas. Cepen- 

 dant, plusieurs auteurs de géométrie , rejetant la réduction à l'absurde, 

 comme inutile et parfaitement incompréhensible , lorsqu'il s'agit de 

 passer du commensurable à Y incommensurable . distinguent encore néan- 

 moins ce dernier cas : ils pensent éviter les infinis en prouvant quelesdeux 

 rapports cherchés sont compris tous les deux eutre deux rapports , ne 

 différant que du nombre 1 sur n , moindre que tout nombre assigné , >i 

 petit qu'il soit ; vu que n est un nombre entier , aussi grand qu'on veut : 

 ils en concluent que ces deux derniers rapports sont égaux rigoureuse- 

 ment , et par suite les deux derniers. 



Mais admettre que les deux derniers rapports sont rigoureusement 

 égaux , c'est supposer leur différence 1 sur n infiniment petite et consè- 

 quemment nulle , comme elle l'est , en effet , vis-à-vis des grandeurs 

 finies : c'est supposer une commune mesure ; c'est répéter , en le compli- 

 quant , le raisonnement fait pour une mesure commune assignable. La 

 distinction des deux cas , commensurable et incommensurable, complique 

 donc , fort inutilement , les élémcnls de géométrie. 



La théorie des parallèles , où l'on veut éviter les infinis , est tout aus^i 

 incompréhensible que la réduction à l'absurde, dans le passage du rationnel 

 à l'irrationnel ; parce que la définition de l'angle, sur laquelle on se base , 

 ne le fait pas connaître tel qu'il est en effet , une ■portion plane infinie. 

 Aussi celle théorie est-elle-forl compliquée et fort obscure , lorsqu'ou 

 >eut se passer du yoslulatum d'Euclide , comme dans diverses éditions de 

 la géométrie de Legendre et notamment la IS™", où il ne parvient qu'à 

 masquer, par de longs raisonnements, \es grandeurs indéfinilésimales. Est- 

 il possible , par exemple , que l'élève , même le plus intelligent , qui n'a 

 pas la notion de ces grandeurs , comprenne la démonstration , fort com- 

 pliquée , du théorème sur les trois angles de tout triangle rectiligne, 

 donnée dans celle dernière édition ? Car cette démonstration , fort ingé- 

 nieuse sans doule , n'en suppose pas moins implicitement que tout angle 

 infiniment petit est comme nul vis-à-vis de l'angle droit ; ce qui est vrai : 

 mais elle suppose aussi que les côtés d'un angle infiniment pelit coïnci- 

 dent ; ce qui ne saurait être ; et ainsi le théorème n'est réellement pas 

 déniontré : il [:e peut l'être , clairement el compicletiicnt , qu'en se fou- 



