214 J.-N. NoHL. — Mémoire sur les 



dant sur la théorie des parallèles ; elle-même devant êlre basée sur lu 



nalore infinie de l'angle , pour être simple, claire et complèlc. 



Considérons l'angle droit D et l'angle aigu A extérieur, situés d'un même 

 côlè de la droile fixe MN et ayant deux côlès opposés sur celle droila : 

 si l'on fait glisser l'angle droil D sur MN , de telle sorte que l'un de ses 

 côlés glisse sur un colè de A , il est évident , d'après la notion de la ligne 

 droile , que les second côlés de A el de D se couperont toujours , bien que 

 leur inlerseclion unique s'éloigne de plus en plus du sommet , d'abord com- 

 mun. On est donc ainsi amené au poslulatum d'Euclide , savoir que loule 

 perpendiculaire d un côté d'un angle aigu finit toujours par rencontrer 

 l'autre calé. 



Ce poslulatum , ainsi amené , me parnll d'une évidence assez complète 

 el je n'hésiterais pas à le ranger parmi les axiomes , si la nature infinie 

 de l'angle ne permettait de le démontrer rigoureusement. Cependant des 

 géomètres du premier ordre, et Legendre eu particulier, pour réduire 

 le plus possible le nombre des axiomes en géométrie , ont voulu démon- 

 trer le poslulatum ci-dessus ; mais ils n'y ont pas réussi , parce qu'ils 

 n'ont pas voulu non plus considérer explicitement les grandeurs iiiGailé- 

 simales , réellement inévitables dans la science de l'élendue. 



Je terminerai par les observations, fort judicieuses , que voici (elles 

 s snt consignées , tome XX des annales de Mathématiques , p. 288) : « En 

 examinant avec allention la plupart des Traités de Géométrie élémen- 

 taire , il semble souvent que leurs auteurs aient pris à lâche de rendre , 

 à dessein , difficile une étude qu'ils auraient dû s'efforcer , au conlraire , 

 de mettre à la portée du plus grand nombre. Indépendamment de ces 

 continuelles réductions à l'absurde, dont on pourrait, tout au plus, 

 donner un ou deux exemples en noies, par forme d'échantillon , et dont 

 le moindre inconvénient est de faire perdre tout-à-fait de vue la marche 

 des inventeurs , dans l'investigation des vérités inconnues ; combien 

 u'est-il pas d'autres parties des éléments qui pourraient être traitées d'une 

 manière beaucoup plus naturelle el en même temps beaucoup plus sim- 

 ple? On dit , en faveur de la pratique contraire, qu'elle est plus propre 

 à développer et à exercer l'inlelligence ; mais c'est-là , ce me semble , 

 une erreur manifeste ; et celle pratique ne me parait propre qu'à faire 

 briller l'adresse des auteurs qui devraient , au contraire , dans la compo- 

 sition de leurs ouvrages , s'oublier constamment , pour ne songer qu'à 

 ceux qu'ils ont dessein d'instruire. Ce qui peut réellement développer et 

 exercer l'inlelligence des élèves ( leur faire acquérir la science) , ce sont 

 des théorèmes et des problèmes que, par forme d'exercice, on leur 

 donne à démontrer el à résoudre (el ajoutons que c'est le véritable moyen 

 de leur inspirer le goùl de l'étude). Leur application à retenir exacte, 

 nicnl dos raisnnuemeuts et des procédés qu'ils trouvent dans un livre 

 n'exerce niiiquemcnl que leur mémoire. Ne viiudruit-il pas beaucoup 



