fondamentaux de Vanahjfc transcendante. 2'25 



rigoureux qu'en perdant l'avantage qu'il offre d'être commode et 

 cxpéditif. 



Conception de Newton. L'analyse transcendante, telle que Newton 

 l'a conçue, peut Être présentée sous plusieurs formes différentes. 

 Nous distinguerons en particulier la méthode des premières et der- 

 nières raisons ou en d'autres termes , la méthode des limites. 



Lorsque l'on considère le rapport de l'accroissement de la fonc- 

 tion à l'accroissement de la variable , et qu'on fait converger vers 

 zéro les deux termes de ce rapport , on remarque que le rapport 

 converge en même temps vers une valeur déterminée. C'est cette 

 valeur qui prend le nom de première et dernière raison ou celui de 

 limite. En général elle est exprimée par une fonction particulière 

 de la variable. On prouve d'ailleurs que cette fonction dérive de la 

 fonction donnée , toutes deux s'impliquant l'une l'autre- 



Cela posé , l'on conçoit qu'au lieu d'opérer directement sur cer- 

 taines quantités variables , l'on puisse employer comme auxiliaires 

 les limites de leurs accroissements. D'un autre côté une même 

 détermination est susceptible de s'appliquer , comme limite , aux 

 accroissements de grandeurs essentiellement différentes. On peut 

 donc aussi choisir parmi ces grandeurs celles qui offrent le plus 

 de facilité pour le but qu'on se propose , et la substitution des unes 

 aux autres devient une des ressources les plus précieuses du calcul 

 des limites. Tel est au point de vue qui nous occupe, l'esprit général 

 de l'analyse transcendante. 



L'idée de limites , bien que remarquable par sa netteté et sa jus- 

 tesse , est peut être une idée étrangère, dont les théories analytiques 

 devraient rester indépendantes. Telle était la pensée de Lagrange. 

 Néanmoins la méthode fondée sur cette conception nous paraît 

 purement algébrique, et si nous la disons insuffisante, c'est à 

 raison des difficultés qu'elle entraine dans la plupart des applica- 

 tions. Ces difficultés sont assez connues pour que nous n'ayons pas 

 à insister sur ce point. Disons toutefois qu'on s'est efforcé de les 

 atténuer en renonçant à la notation que la méthode des limites 

 comporte essentiellement et en suppléant cette notation par les 

 caractéristiques de la méthode infinitésimale. 



Au premier abord il ne paraît pas facile d'exprimer nettement 

 ce que sont les différentielles dans la mélhode des limites. Cependant 

 si l'on observe que l'accroissement de la fonction se compose en 

 général de deux termes , l'un égal au produit de l'accroissement de 

 la variable par la fonction dérivée , l'autre , formé moins simple- 

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