fondamentaux de i'anahjse iranscenduntc. 229 



Siigit-il de la tangente , on a 



Cotte relation demeure invariable indépendaDiment de toute 

 valeur particulière attribuée à l'intervalle Ar. La propriété qu'elle 

 exprime subsiste à Vorigine même de l'accroissiment dy. 



S'agit-il de la courbe, il vient 



Ay ^ f(x+&x]—f(x) 



AX AX 



Au 



et , si petit que soit l'inlervalle Aa:, le rapport — '— ne cesse pas de 



varier conlinuement. 



On conçoit à priori que le rapport — '— doit converger vers la 



limite exprimée par \p[x) , à mesure que àx converge vers zéro. 

 Néanmoins il J a lieu d'observer que si la suite des valeurs dont 

 il est susceptible se rattache par voie de continuité à la limite \p[x] , 

 cette limite elle même reste en dehors de la suite. 



Transportons-nous par la pensée à l'origine des accroissements 

 Ay, ^x. Une loi déterminée régit la génération de ces accroisse- 

 ments, alors que parlant de zéro , ils prennent tous deux naissance. 

 Cela résulte de ce que l'extrémité de l'ordonnée est assujettie à rester 

 sur la courbe. Ou voit d'ailleurs que cette loi dépend essentiellement 

 de la direction suivant laquelle la continuité s'établit à partir du 

 point que l'on considère. Or ce n'est point altérer la loi dont il 

 s'agit que de la supposer permanente : elle a donc pour expression 



AX 



L'accroissement dy n'est, relativement à la tangente, qu'une diffé- 

 rence ordinaire. Par rapport à la courbe il est dit accroissemenl 

 différentiel el il se substitue à V accroissement effectif Ay , lorsque, 

 soustraite à tout changement , la direction tangcntielle est supposée 

 constante à partir du point m. Mais se placer dans cette hypothèse , 

 c'est admettre que la loi de génération des grandeurs Ay , ax persiste 

 dans la détermination particulière qu'elle affecte à leur origine: c'est 

 dégager celte loi des modifications qu'elle subit dans l'intervalle ax 

 et l'assvjellir à se développer en demeurant permanente. Telle est 

 ilonc aussi la siguiGcalion générale qu'acquiert eu réalité la substi- 

 tution du svmbole différentiel à la caractéristique a. 



