fondamentaux de Vanalijsc transcendante. 231 



La déCiiiliou de la difloi-cntielle donne iraméJiatemeiit 



dy=sf'{x)liX. 



Elle s'étend d'ailleurs à tous les ordres , la différeulielle de l'ordre 

 n étant ce que devient la différence du même ordre , lorsqu'on sup- 

 pose permanente la loi qui en régit la génération initiale. 



Tel est le sens de l'équation 



d"2/ = /'°(a;)Ax°. 



Ce sont donc toujours les mêmes quantités auxiliaires qui se 

 trouvent introduites dans le calcul. Quanta la mélhode , nous verrons 

 tout à l'heure qu'elle se prêle aux applications avec une grande 

 facilité. 



Les différentielles ne sont , comme on vient de l'établir , qae des 

 différences ordinaires prises dans une certaine bypothèse. L'équation 

 différentielle exprime la génération qui répond à celte hypothèse 

 pour chaque valeur attribuée à la variable. De là résalte tout une 

 série d'applications. 



Le système des axes coordonnées étant rectangulaire ou oblique 

 soit d'abord une courbe plane 



L'équalion différentielle 



dy^pix^dx 



fsl en différences ordinaires l'équation d'une ligne qui louche la 

 courbe y=f(x) au point (x„ ,)/„). Cela résulte de ce qu'en supposant 

 permanente la loi de génération des grandeurs ai/ , t^x , l'on ne peut 

 altérer la direction suivant laquelle la continuité s'établit à l'origine 

 de ces accroissements. 



Considérant celte ligue et substituant aux différentielles les diffé- 

 rences qu'elles expriment , il vieat 



y-ij^=f\xXx—x,) 



c'est-à-dire l'équation d'une droite. La ligne dont il s'agit est donc 

 la tangente elle— même. 



Soit ensuite une courbe quelconque dans l'espace 



les mêmes considérations donnent pour les équations de la tangente 



