234 E. Lamable. — Essai sur les principet 



renlielles, il vient 



Au f"ix ] 



En ce cas deux arcs quelconques , égaux en longueur , sont 

 toujours supcrposables. La courbure est donc uniforme et la ligne 

 engendrée une circonférence de cercle ayant pour rayon 



Le cercle ainsi déterminé a en tous ses points même courbure que 

 la courbe donnée au point que l'on considère. On le nomme cerck 

 osculateur et son rayon rayon de courbure. En général la courbure 

 de la courbe varie d'un point à un autre. Dans tous les cas elle est 



mesurée par le rapport et le changement de direction , pris à 



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 son origine , s'effectue sur la courbe de la même manière qu'en un 

 point quelconque du cercle osculateur. Ajoutons , comme corollaire : 



Lorsque plusieurs courbes ont en un point commun même tan- 

 gente et qu'en outre les dérivées du second ordre affectent même 

 valeur particulière, ces courbes ont en ce point même courbure. 



Cette conséquence peut s'établir directement. En effet pour une 

 même valeur quelconque de la dérivée f'{x^ la courbure est com- 

 plètement déterminée par la loi de génération 



d[\x)=f'\x,)-dx. 



S'il s'agissait d'une courbe à doube courbure : on observerait, 

 1° que la 2"" courbure nait des modiCcalions continues que subit 

 incessamment le plan de 1" courbure ; 2° que, supposer permanentes 

 à partir d'un point quelconque les lois qui déterminent en ce point 

 les deux courbures , c'est substituer une hélice à la courbe que l'on 

 considère. Cette hélice est dite hélice osculatrice : elle est pour les 

 courbes à double courbure , ce que le cercle osculateur est pour les 

 courbes planes. 



On voit, d'après ces exemples , quels avantages particuliers résul- 

 tent du sens nouveau attribué au symbole diETcrentiel. Que l'on 

 compare les solutions précédentes à celles que fournissent en géné- 

 ral les méthodes ordinaires , et l'on devra convenir que , sans avoir 

 rien perdu sous le double rapport de la facilité des déductions et de 

 la rigueur algébrique , nous sommes parvenus à acquérir des notions 

 plus précises et plus approfondies. Toutefois nous avons à peine 



