fondamentaux de l'analyse transcendante. 245 



une détermination particulière. Soit x^x' : la loi de génération , 

 supposée permanente à partir de x=af, a pour expression 



dy=Cp(x\bjc) 



Considérée en elle même, la différentielle dy n'est qu'une diffé- 

 rence ordinaire , prise dans l'hypothèse d'une loi de génération 

 constante. Le résultat obtenu tout à l'heure s'applique à cette dif- 

 férence. On a donc 



Remarquons ici que c ne peut être une constante absolue , puis- 

 que par hypothèse la loi de génération varie dans la fonction y. 

 Toutefois il reste démontré que la quantité c est indépendante de 

 Ax. Sa valeur dépend donc essentiellement de la valeur x' attribuée 

 à la variable , et comme ces deux valeurs sont nécessairement déter- 

 minées ensemble , il en résulte que c est une fonction de x. Cette 

 fonction prend par rapport à la fonction primitive le nom de fonc- 

 tion dérivée. En la désignant ainsi et en la représentant par le 

 signe de la fonction affecté d'un indice , on la distingue et en même 

 temps l'on rappelle son origine. 



Comme conséquence de ces déductions , il vient 



et il est établi que la loi de génération se présente en général sous 

 la forme 



dy=f[x]\x. 

 4) Pour compléter ces notions fondamentales il nous reste à 

 montrer comment la fonction dérivée peut être déduite de la fonc- 

 tion primitive. Soit 



^y _. f[x^-e^x)—f{x) 

 Ax ^x 



Si l'on remplace &x par i^x-\-i, et que l'on retranche la première 

 valeur de la seconde, on a pour différence 



f[x+Lx+ti—f{x) f[x + Ax)—f{x) f(x-\-&x+i)—f{x+i^x) 



àX+i AX AX-{-i 



i f{x+&x)—f(x) 



Ax+î Aj; 



Or, quel que soit Aa;, l'on peut toujours prendre la quantité t 

 assez petite pour que cette différence soit moindre que toute gran- 



