fondamentaux de l'anahjse transcendante- 247 



1^ dépendant de Ax et décroissant indéfiniment à mesure que Ar 

 converge vers zéro. 



Ed résumé la fonction y, supposée continue , est ou non linéaire. 



Dans le premier cas, il vient 



j?=0. f'{x)==CoBs"=c. dy=Ay=.cAx. ^ 



Aw 



Dans le second , le rapport — ^— se compose essentiellement de 



deux parties distinctes , l'une indépendante de A» et c'est la dérivée 

 f'{x) , l'autre dépendante de cet accroissement et celle-ci converge 

 vers zéro en même temps que Ax. La décomposition du rapport en 

 ces deux parties étant supposée faite, l'on en déduit immédiate- 

 ment l'expression générale de la loi de génération , 

 dy=f'{x)Ax 



Le procédé de décomposition analytique que nous venons d'in- 

 diquer n'est pas le seul auquel on puisse recourir pour la recherche 

 de la fonction dérivée. Quelquefois la loi de génération peut être 

 immédiatement saisie, et alors il sufiSt de la considérer dans son 

 développement continu , pour obtenir , directement et sans calcul 

 intermédiaire, l'équation différentielle qui lui sert d'expression. 



5) On démontre aisément que la fonction dérivée f'{x) déter- 

 mine implicitement l'accroissement effectif Ai/. On peut d'ailleurs le 

 reconnaître à priori. En effet, de quoi dépend la différence Ay , 

 sinon de l'expression particulière que la loi de génération prend à 

 l'origine des accroissements que l'on considère et en outre des 

 modifications successives qu'elle subit dans l'intervalle Ax. Or c'est 

 précisément l'équation différentielle qui fixe chacune des déterrai- 

 nations que la loi de génération affecte successivement dans un 

 intervalle quelconque. On voit donc que les deux relations dy^ 

 f'{x]Ax, Ay=f[x+Ax) — f[x) , peuvent et doivent se suppléer mu- 

 tuellement. 



Règles générales de la différenciation. 



6) Soit en premier lieu 



y=f[x) 

 et en même temps 



a:=F(B) 

 '■ Les lois qui régissent la génération de Ay par Ax et de Ax par Au 



